Question

14．【观察发现】（1）如图1，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，且点E在边AB上，连接DE和BG，猜想线段DE与BG的数量关系和位置关系．（只要求写出结论，不必说出理由）
【深入探究】（2）如图2，将图1中正方形AEFG绕点A逆时针旋转一定的角度，其他条件与观察发现中的条件相同，观察发现中的结论是否还成立？请根据图2加以说明．
【拓展应用】（3）如图3，直线l上有两个动点A、B，直线l外有一点动点Q，连接QA，QB，以线段AB为边在l的另一侧作正方形ABCD，连接QD．随着动点A、B的移动，线段QD的长也会发生变化，若QA，QB长分别为$3\sqrt{2}$，6保持不变，在变化过程中，线段QD的长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质，由SAS证明△BAG≌△DAE，得出DE=BG，∠ABG=∠ADE，再由角的互余关系证出DE⊥BG即可；
（2）同（1）证明△BAG≌△DAE，从而证明结论；
（3）以OA为边作正方形QAGF，连接QG、BG，则QC=$\sqrt{2}$OA=4，当G、Q、B三点共线时，BG最长，此时BC=QC+QB=8，从而得出答案．

解答 （1）解：DE=BG，DE⊥BG；理由如下：
延长DE交BG于H，如图1所示：
∵四边形ABCD、四边形AEFG都是正方形，
∴AB=AD，AG=AE，∠EAD=∠BAG=90°，
在△BAG与△DAE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{∠BAG=∠EAD}&{\;}\\{AG=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BAG≌△DAE（SAS），
∴DE=BG，∠ABG=∠ADE，
∵∠AGB+∠ABG=90°，
∴∠AGB+∠ADE=90°，
∴∠DHG=90°，
∴DE⊥BG；
（2）解：（1）中的结论成立，即DE=BG，DE⊥BG；
理由如下：如图2所示，
∵四边形ABCD、四边形AEFG都是正方形，
∴BA=AD，AG=AE，∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠BAG+∠BAE=∠EAG+∠BAE，
即∠BAG=∠DAE，在△BAG与△DAE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{∠BAG=∠EAD}&{\;}\\{AG=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BAG≌△DAE（SAS），
∴DE=BG，∠ABG=∠ADE
∵∠AMD+∠ADE=90°，∠AMD=∠BME，
∴∠BME+∠ABG=90°，
∴∠DNB=90°，
∴DE⊥BG；
（3）解：QD存在最大值；理由如下：
以QA为边作正方形QAGF，连接QG、BG，如图3所示：
则QG=$\sqrt{2}$QA=4，
由（2）可得：QD=BG，
当G、Q、B三点共线时，BG最长，
此时BC=QG+QB=4+4=8，
即线段QD长的最大值为8．

点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、角的互余关系、对顶角相等、三点共线等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解决问题的关键．