题目内容
9．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，∠AOC的平分线交AB于点D，E为BC的中点，已知A（0，4）、C（5，0）二次函数y=ax2+bx的图象经过D，C两点
（1）求该二次函数的表达式；
（2）F，G分别为对称轴、x轴上的动点，首尾顺次连接D，E，G，F构成四边形DEGF，求四边形DEGF周长的最小值；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ODP为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
分析 （1）先利用∠AOC的平分线交AB于点D得到AO=AD，则D（4，4），然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）利用二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=$\frac{5}{2}$，抛物线与AB的另一个交点为D′，点E关于x轴的对称点为E′，连结D′E′交x轴于G，交直线x=-$\frac{5}{2}$于F，如图1，根据两点之间线段最短判断此时EG+FG+FD的值最小，于是判断四边形DEGF周长有最小值，再求出D′和E′点的坐标，然后利用两点间的距离公式求出D′E′和DE，从而得到四边形DEGF周长的最小值；
（3）直线x=$\frac{5}{2}$交x轴于点H，交AB于N，如图2，利用勾股定理计算出OD=4$\sqrt{2}$，分类讨论：作DG⊥x轴于点G，连结AG交对称轴于点P1，如图2，易得四边形AOGD为正方形，则AG垂直平分OD，所以△P1OD为等腰三角形，易得直线AG的解析式为y=-x+4，求直线y=-x+4与对称轴的交点得到P1的坐标；以点D为圆心，DO为半径画弧交对称轴于点P2，P3，如图2，则DP2=DP3=4$\sqrt{2}$，利用勾股定理计算出P2N=$\frac{\sqrt{119}}{2}$，同理可得P3N=$\frac{\sqrt{119}}{2}$，则可得到P2和P3的坐标；以点O为圆心，OD为半径画弧交对称轴于点P4，P5，如图2，则OP4=OP5=4$\sqrt{2}$，利用勾股定理计算出P4H和P5H的长，于是可得到P4和P3的坐标．
解答 解：（1）∵A（0，4）、C（5，0），
∴OA=4，OC=5，
∵∠AOC的平分线交AB于点D，
∴AO=AD，
∴D（4，4），
把D（4，4），C（5，0）代入y=ax2+bx得$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b=4}\\{25a+5b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-x2+5x；
（2）∵y=-x2+5x=-（x-$\frac{5}{2}$）2+$\frac{25}{4}$，
∴抛物线的对称轴为直线x=$\frac{5}{2}$，
抛物线与AB的另一个交点为D′，点E关于x轴的对称点为E′，连结D′E′交x轴于G，交直线x=-$\frac{5}{2}$于F，如图1，
∵FD=FD′，GE=GE′，
∴EG+FG+FD=GE′+FG+FD′=D′E′，
∴此时EG+FG+FD的值最小，此时四边形DEGF周长有最小值，
当y=4时，-x2+5x=4，解得x1=1，x2=4，则D′（1，4），
∵点E为BC的中点，
∴E（5，2），
∵点E′与点E关于x轴对称，
∴E′（5，-2），
∴D′E′=$\sqrt{（1-5）^{2}+（4+2）^{2}}$=2$\sqrt{13}$，DE=$\sqrt{（4-5）^{2}+（4-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴四边形DEGF周长的最小值=DE+D′E′=$\sqrt{5}$+2$\sqrt{13}$；
（3）存在．
直线x=$\frac{5}{2}$交x轴于点H，交AB于N，如图2，
∵D（4，4），
∴OD=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
作DG⊥x轴于点G，连结AG交对称轴于点P1，如图2，
易得四边形AOGD为正方形，
∴AG垂直平分OD，
∴P1O=P1D，即△P1OD为等腰三角形，
∵G（4，0），
易得直线AG的解析式为y=-x+4，
当x=$\frac{5}{2}$时，y=-x+4=$\frac{3}{2}$，则P1（$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$）；
以点D为圆心，DO为半径画弧交对称轴于点P2，P3，如图2，则DP2=DP3=4$\sqrt{2}$，
在Rt△DP2N中，DN=4-$\frac{5}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴P2N=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}-（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{119}}{2}$，
同理可得P3N=$\frac{\sqrt{119}}{2}$，
∴P2（$\frac{5}{2}$，4+$\frac{\sqrt{119}}{2}$），P3（$\frac{5}{2}$，4-$\frac{\sqrt{119}}{2}$），
以点O为圆心，OD为半径画弧交对称轴于点P4，P5，如图2，则OP4=OP5=4$\sqrt{2}$，
在Rt△OP4H中，P4H=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}-（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{103}}{2}$，
同理可得P5H=$\frac{\sqrt{103}}{2}$，
∴P4（$\frac{5}{2}$，$\frac{\sqrt{103}}{2}$），P3（$\frac{5}{2}$，-$\frac{\sqrt{103}}{2}$），
综上所述，满足条件的P点坐标为（$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$）或（$\frac{5}{2}$，4+$\frac{\sqrt{119}}{2}$）或（$\frac{5}{2}$，4-$\frac{\sqrt{119}}{2}$），（$\frac{5}{2}$，$\frac{\sqrt{103}}{2}$）或（$\frac{5}{2}$，-$\frac{\sqrt{103}}{2}$）．
点评 本同考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的判定；会运用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形的性质，记住两点间的距离公式；能运用两点之间线段最短解决最短路径问题；运用分类讨论的思想方法解决（3）小题．
屈原食品公司接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只5元．为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人小明第x天生产的粽子数量为n只，n与x满足如下关系式：$\left\{\begin{array}{l}n=45x\\ n=30x+90\end{array}\right.$$\begin{array}{l}（0＜x≤5）\\（5＜x≤15）\end{array}$．
如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的直角顶点在y轴上，斜边BC在x轴上，AB=AC=4$\sqrt{2}$，D为斜边BC的中点，点P由点A出发沿线段AB做匀速运动，P′是点P关于AD的对称点，P′P交y轴于点F，点Q由点D出发沿射线DC方向做匀速运动，且满足四边形QDPP′是平行四边形，设?QDPP′的面积为S，DQ=x．
如图，一艘轮船原在A处，它的北偏东45方向上有一灯塔P，轮船沿着北偏西30方向航行4小时到达B处，这时灯塔P正好在轮船的正东方向上，已知轮船的速度为25海里/时．求轮船在B处时与灯塔P的距离（结果保留根号）．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a1（x-2）2+2与y=a2（x-2）2-3的顶点分别为A，B，与x轴分别交于点O，C，D，E．若点D的坐标为（-1，0），则△ADE与△BOC的面积比为1．
两个完全重合的直角三角形Rt△ABC与Rt△DEF两直角边分别为3cm、4cm，点D放置在AB的中点，△DEF可以绕点D转动，当Rt△DEF旋转到一边与AB垂直时，两三角形重叠部分面积为$\frac{75}{64}$、$\frac{69}{32}$、$\frac{25}{12}$．