Question

6．如图，直线y=2x-6与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象交于点A（4，2），与x轴交于点B．
（1）求k的值及点B的坐标；
（2）当x-1＜x＜0或x＞4时，2x-6＞$\frac{k}{x}$（k＞0）；
（3）在x轴上是否存在点C，使得△ABC为等腰三角形，且AC=AB？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，再令直线y=2x-6中y=0求出x的值，即可得出点B的坐标；
（2）联立一次函数与反比例函数解析式成方程组，求出另一交点坐标，补充完整函数图象，根据两函数图象的上下位置关系即可得出结论；
（3）假设存在，设点C的坐标为（m，0），由两点间的距离公式分别表示出AB、AC的长度，令AC=AB，即可得出关于m的无理方程，解方程即可得出结论．

解答 解：（1）∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象过点A（4，2），
∴k=4×2=8，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{8}{x}$．
令y=2x-6中y=0，则2x-6=0，
解得：x=3，
∴点B的坐标为（3，0）．
（2）联立两函数的解析式成方程组，
得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{8}{x}}\\{y=2x-6}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-8}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$．
补充完整函数图象，如图所示．

观察两函数图象可发现：当-1＜x＜0或x＞4时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，
∴不等式2x-6＞$\frac{k}{x}$（k＞0）的解集为-1＜x＜0或x＞4．
故答案为：-1＜x＜0或x＞4．
（3）假设存在，设点C的坐标为（m，0），
则AB=$\sqrt{（4-3）^{2}+（2-0）^{2}}$=$\sqrt{5}$，AC=$\sqrt{（4-m）^{2}+（2-0）^{2}}$，BC=|m-3|．
∵△ABC为等腰三角形，且AC=AB，
∴$\sqrt{5}$=$\sqrt{（4-m）^{2}+（2-0）^{2}}$，即（4-m）²=1，
解得：m=5，或m=3（舍去），
∴点C的坐标为（5，0）．
故在x轴上存在点C，使得△ABC为等腰三角形，且AC=AB，点C的坐标为（5，0）．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的图象、两点间的距离公式以及解无理方程，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值；（2）求出两函数另一交点坐标；（3）得出关于m的方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，联立两函数解析式求出另一交点坐标，根据两函数图象的上下位置关系解出不等式的解集是难点．