Question

12．如图，在边长为$6\sqrt{2}$的正方形ABCD中，E是边CD的中点，F在BC边上，且∠EAF=45°，连接EF，则BF的长为（　　）

• A． $2\sqrt{2}$
• B． 3
• C． $3\sqrt{2}$
• D． 4

Answer 1

分析 如图，作辅助线，首先证明△AFE≌△AGE，进而得到EF=FG，问题即可解决．

解答 证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∴把△ABF绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图：

∴∠BAF=∠DAG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAF+∠DAE=45°，
∴∠EAF=∠EAG，
∵∠ADG=∠ADC=∠B=90°，
∴∠EDG=180°，点E、D、G共线，
在△AFE和△AGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AF}\\{∠FAE=∠EAG}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△AGE（SAS），
∴EF=EG，
即：EF=BE+DF，
∵E为CD的中点，边长为$6\sqrt{2}$的正方形ABCD，
∴CD=BC=6$\sqrt{2}$，DE=CE=3$\sqrt{2}$，∠C=90°，
∴设BF=x，则CF=6$\sqrt{2}$-x，EF=3$\sqrt{2}$+x，
在Rt△CFE中，由勾股定理得：EF²=CE²+CF²，
（3$\sqrt{2}$+x）²=（3$\sqrt{2}$）²+（6$\sqrt{2}$-x）²，
解得：x=2$\sqrt{2}$，
即BF=2$\sqrt{2}$，
故选A．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及其性质的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．