Question

7．已知，点I是△ABC的内心，过点B作BP⊥BI交AI的延长线于点P
（1）如图1，若BA=BC，
①求证：BP∥AC；
②设∠BAC=α（其中α为常数），求∠BCP；
（2）如图2，CM，BN为△ABC的角平分线，若BM+CN=6，∠BAC=60°，请你直接写出点P到直线BC的距离的最大值等于3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）①由等腰三角形的性质证明∠BAC=∠BCA（设为α）；由内切圆的性质求出∠ABI=90°-α，进而证明∠ABP+∠BAC=180°，即可解决问题；
②首先证明PB=BC，进而得到∠BCP=∠BPC；证明∠PBC=∠ACB=α，运用三角形的内角和定理，求出∠BCP，即可解决问题；
（2）根据△ABC为等边三角形时，P到直线BC的距离的最大求出最大值即可．

解答 解：（1）①如图，∵BA=BC，
∴∠BAC=∠BCA（设为α）；
∵点I为△ABC的内心，
∴∠ABI=$\frac{180°-2α}{2}$=90°-α，
∴∠ABP=90°+90°-α=180°-α，
∴∠ABP+∠BAC=180°-α+α=180°，
∴BP∥AC．
②如图，∵BP∥AC，
∴∠CAP=∠APB，∠BCA=∠PBC，
∵AI是∠BAC的平分线，
∴∠BAP=∠CAP，
∴∠BAP=∠APB，
∴AB=PB；
∵AB=BC，
∴PB=BC，
∴∠BPC=∠BCP，
∴∠BCP=$\frac{180°-∠PBC}{2}$；
∵∠BCA=∠BAC=α，
∴∠PBC=∠BCA=∠BAC=α，
∴∠BCP=$\frac{180°-α}{2}$．
（2）当△ABC为等边三角形时，BC=BM+CN=6，
此时P到直线BC的距离的最大，
在等边三角形PBC中，BC=6，
P到直线BC的距离的最大值是3$\sqrt{3}$．

点评 该题主要考查了三角形内切圆的性质、三角形内角和定理、平行线的判定等几何知识点及其应用问题；牢固掌握三角形内切圆的性质等几何知识点是基础，灵活运用、解题是关键．