课外活动小组活动时.陈老师提出了如下问题:已知:如图1.在△ABC中.∠ABC=∠ACB=α.点D是AB边上任意一点.将射线DC绕点D逆时针旋转α与过点A且平行于BC边的直线交于点E．当α=60°时.请判断线段BD与AE之间的数量关系．小明在小组内经过合作交流.得到了如下的解决方法:过D点作AC的平行线交BC于F.构造全等三角形.通过推理使得问� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．课外活动小组活动时，陈老师提出了如下问题：
已知：如图1，在△ABC中，∠ABC=∠ACB=α，点D是AB边上任意一点，将射线DC绕点D逆时针旋转α与过点A且平行于BC边的直线交于点E．当α=60°时，请判断线段BD与AE之间的数量关系．
小明在小组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：过D点作AC的平行线交BC于F，构造全等三角形，通过推理使得问题得解．
（1）写出原问题BD与AE之间的数量关系，并写出证明过程；
（2）如图2，在原问题条件下当α=45°时，判断线段BD与AE之间的数量关系，并进行证明；
（3）如图3，在原问题条件下当α为任意锐角时，依题意补全图形，请直接写出线段BD与AE之间的数量关系：BD=2cosα•AE．（用含α的式子表示，其中0°＜α＜90°）

分析（1）连接EC，当α=60°时，△ABC、△DCE是等边三角形，EC=DC，AC=BC，根据等量减等量求得∠BCD=∠ACE，可得△BDC≌△ACE，答案可证．
（2）过点D作DF∥AC，交BC于F，可证得△DFB是等腰直角三角形，BD=DF=$\sqrt{2}$BF，再证明△ADE∽△FCD，得：$\frac{AE}{DF}$=$\frac{AD}{CF}$，由DF∥AC，得：$\frac{BD}{BF}$=$\frac{AD}{CF}$，可得到$\frac{AE}{BD}$=$\frac{BD}{BF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，继而得到答案．
（3）由连结EC，可利用四点共圆证角相等，然后证△BDC∽△AEC相似可以确定BD=2cosα•AE．

解答解：（1）结论：BD=AE；
理由：如图12，连接EC，AC交DE于F，当α=60°时，△ABC
∵AE∥BC，
∴○EAF=○ACB=○FDC=60°，∵∠AFE=∠DFC，
∴△AFE∽△DFC，
∴$\frac{AF}{DF}$=$\frac{EF}{CF}$，
∴$\frac{AF}{EF}$=$\frac{DF}{CF}$，∵∠AFD=∠EFC，
∴△AFD∽△EFC，
∴∠DAF=∠FEC=60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴EC=DC，AC=BC，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
在△BDC和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=DC}\\{∠BCD=∠ACE}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△BDC≌△ACE（SAS），
∴BD=AE．

（2）BD=$\sqrt{2}$AE；理由如下：
如图2，过点D作DF∥AC，交BC于F．
∵DF∥AC，
∴∠ABC=∠DFB．
∵∠ABC=∠ACB=α，α=45°，
∴∠ABC=∠ACB=∠DFB=45°．
∴△DFB是等腰直角三角形
∴BD=DF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BF．
∵AE∥BC，
∴∠ABC+∠BAE=180°．
∵∠DFB+∠DFC=180°
∴∠BAE=∠DFC．
∵∠ABC+∠BCD=∠ADC，∠ABC=∠CDE=α，
∴∠ADE=∠BCD．
∴△ADE∽△FCD．
∴$\frac{AE}{DF}$=$\frac{AD}{CF}$．
∵DF∥AC，
∴$\frac{BD}{BF}$=$\frac{AD}{CF}$．
∴$\frac{AE}{BD}$=$\frac{BD}{BF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴BD=$\sqrt{2}$AE．
（3）补全图形如图3，连接EC，由AE∥BC，∠EAC=∠ACB=α，
∴∠EAC=∠EDC=α，
∴A、D、C、E四点共圆，
∴∠ADE=∠ACE，
∵∠ADE+∠EDC=∠ADC=∠ABC+∠BCD，∠ABC=∠EDC=α，
∴∠ADE=∠BCD，
∴∠ACE=∠BCD
∵∠ABC=∠EAC=α，
∴△BDC∽△ACE，
∴$\frac{BD}{AE}$=$\frac{BC}{AC}$，
又∵$\frac{BC}{AC}$=2cosα，
∴BD=2cosα•AE．
故答案为BD=2cosα•AE．