Question

17．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10．
（1）求直线AB与CF之间的距离；
（2）求CD的长．

Answer 1

分析 （1）过点B作BM⊥FD于点M，先解直角△ACB中，得出BC=AC×tan∠A=10$\sqrt{3}$，由AB∥CF，得出∠BCM=∠ABC=30°，再解直角△BCM，得出BM=BC×sin∠BCM=5$\sqrt{3}$，CM=BC×cos∠BCM=15，即直线AB与CF之间的距离为5$\sqrt{3}$；
（2）在△EFD中可求出∠EDF=45°，那么MD=BM=5$\sqrt{3}$，再根据CD=CM-MD即可得出答案．

解答 解：（1）过点B作BM⊥FD于点M，
∵在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，
∴∠ABC=30°，BC=10×tan60°=10$\sqrt{3}$，
∵AB∥CF，
∴∠BCM=∠ABC=30°．
∵在直角△BCM中，∠BMC=90°，∠BCM=30°，
∴BM=BC×sin30°=10$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$=5$\sqrt{3}$，CM=BC×cos30°=15，
即直线AB与CF之间的距离为5$\sqrt{3}$；

（2）∵在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，
∴∠EDF=45°，
∴MD=BM=5$\sqrt{3}$，
∴CD=CM-MD=15-5$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了解直角三角形及平行线的性质，难度适中，解答此类题目的关键根据题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．