Question

10．如图，已知，正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在AC、DC上，若EC=BC，EF⊥BE，BF与EC交于G，则BG与GF的乘积为$3\sqrt{2}-4$．

Answer 1

分析 连接DE，根据等腰三角形得出∠DEF=45°，再利用三角形全等得出EF=BE，进而得出△EGF～△BGC，利用相似三角形的性质得出BG•GF=EG•GC，进而得出GC=AE=$\sqrt{2}-1$，EG=1-GC=2-$\sqrt{2}$，即可得出两者乘积．

解答 解：连接DE，如图：

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCA=∠DCA=45°，BC=DC=1，
∵EC=BC，
∴∠CBE=∠BEC=67.5°，
∵EF⊥BE，
∴∠CEF=22.5°，
∵EC=BC=DC，
∴∠DEF=45°，∠EDC=67.5°，
∴△EFD是等腰三角形，
∴ED=EF，
∵△BEC和△DEC是等腰三角形，且BC=CE=CD，
∴BE=ED，
∴BE=EF，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴∠GBC=∠EBC-∠EBF=67.5°-45°=22.5°=∠CEF，
∵∠EGF=∠BGC，
∴△EGF∽△BGC，
∴BG•GF=EG•GC，
∵CE=AB=CB=1，
∴AE=$\sqrt{2}-1=GC$，
∴EG=EC-GC=2-$\sqrt{2}$，
∴EG•GC=$（\sqrt{2}-1）（2-\sqrt{2}）=3\sqrt{2}-4$，
∴BG•GF=$3\sqrt{2}-4$．
故答案为：$3\sqrt{2}-4$．

点评 此题考查正方形的性质，关键是利用全等三角形和相似三角形的判定和性质分析解答．