Question

12．如图，M是抛物线y=ax²（a＞0）上一点，以MO为半径画⊙M交x轴于点A（2，0），交y轴于点B，交抛物线于另一点C．若$\widehat{CA}$=$\widehat{CB}$，则a=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 作辅助线，构建正方形EOFC和全等三角形，证明△BEC≌△AFC，CE=CF，BE=AF，由A坐标和垂径定理得M的横坐标为1，代入抛物线得DM=a，由中位线定理得：OB=2a，设C（m，am²），根据CE=CF和AF=BE列方程组求出a的值．

解答 解：连接AB，AC，BC，
∵∠AOB=90°，
∴AB是⊙M的直径，
∴M在AB上，
∴∠ACB=90°，
∵$\widehat{CA}$=$\widehat{CB}$，
∴CA=CB，
过M作MD⊥x轴于D，
∴OD=AD=$\frac{1}{2}$OA=1，
∴M的横坐标为1，
当x=1时，y=a，
∴DM=a，
∵AM=BM，OD=DA，
∴DM是△AOB的中位线，
∴OB=2DM=2a，
过C作CE⊥y轴于E，过C作CF⊥x轴于F，
∴∠AOB=∠OEC=∠OFC=90°，
∴四边形EOFC是矩形，
∴∠ECF=90°，
∴∠ECB=∠FCA，
∵∠BEC=∠AFC=90°，
∴△BEC≌△AFC，
∴CE=CF，BE=AF，
∴矩形EOFC是正方形，
∴OF=OE=CF=CE，
设C（m，am²），
$\left\{\begin{array}{l}{m=a{m}^{2}}\\{2-m=m-2a}\end{array}\right.$，
解得：a=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$，
∵a＞0，
∴a=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，
故答案为：$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了正方形的性质、三角形中位线定理、垂径定理、圆中弧、弦的关系、抛物线上点的特征、三角形全等的性质和判定，明确在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．本题的关键是辅助线的作法．