Question

3．已知关于x的一元二次方程kx²+x-2=0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程两个实数根分别为x₁，x₂，且满足x₁²+x₂²+3x₁•x₂=3，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△=1²-4k•（-2）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-$\frac{1}{k}$，x₁x₂=-$\frac{2}{k}$，再变形x₁²+x₂²+3x₁•x₂=3得到（x₁+x₂）²+x₁•x₂=3，所以（-$\frac{1}{k}$）²-$\frac{2}{k}$=3，然后解方程后利用（1）中的范围确定满足条件的k的值．

解答 解：（1）根据题意得k≠0且△=1²-4k•（-2）＞0，
解得k＞-$\frac{1}{8}$且k≠0；
（2）根据题意得x₁+x₂=-$\frac{1}{k}$，x₁x₂=-$\frac{2}{k}$，
∵x₁²+x₂²+3x₁•x₂=3，
∴（x₁+x₂）²+x₁•x₂=3，
∴（-$\frac{1}{k}$）²-$\frac{2}{k}$=3，
整理得3k²+2k-1=0，解得k₁=$\frac{1}{3}$，k₂=-1，
∵k＞-$\frac{1}{8}$且k≠0，
∴k=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判别式．