Question

20．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD=2$\sqrt{3}$，DE=2，下列结论：①AB=2；②∠E=45°；③四边形OCED是菱形；④四边形OCED的面积为2$\sqrt{3}$，其中正确的是①③④（把所有正确结论的序号都填上）．

Answer 1

分析 依据矩形的性质可知OC=OD，然后依据平行四边形的定义可知四边形OCED是平行四边形，从而可证明四边形OCED是菱形故此可对③作出判断，由菱形的性质可得到OC=2，从而可求得AC的长，然后依据勾股定理可求得DC的长则可对①作出判断，由DE=CE=DC=2，可求得∠E的度数，故此可对②作出判断，连接OE，可证明四边形OBCE为平行四边形，从而可求得OE=2$\sqrt{3}$，最后依据菱形的面积等于两对角线乘积的一半可求得菱形OCED的面积．

解答 解：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∴OD=EC，OC=DE．
∵矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴OD=OC．
∴四边形OCED是菱形，故③正确．
∵DE=2，
∴AC=2OC=2DE=4，
∴AB=DC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（2\sqrt{3}）^{2}}$=2，故①正确．
∴ED=DC=CE=2，
∴∠E=60°，故②错误．
如图所示：连接OE．

∵OB∥CE且OB=CE，
∴四边形OBCE为平行四边形．
∴OE=BC=2$\sqrt{3}$．
∴四边形OCED的面积=$\frac{1}{2}$DC•OE=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，故④正确．
故答案为：①③④．

点评 本题主要考查的是矩形的性质、菱形、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．