两个直角边为6的全等的等腰Rt△AOB和Rt△CED中.按图1所示的位置放置.A与C重合.O与E重合．(1)求图1中A.B.D三个点的坐标．(2)Rt△AOB固定不动.Rt△CED沿x轴以每秒2个单位长度的速度向右运动.当点D运动到与B点重合时停止.设运动x秒后Rt△AOB和Rt△CED的重叠部分面积为y.求y与x之间的函数关系式．中的速度� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．两个直角边为6的全等的等腰Rt△AOB和Rt△CED中，按图1所示的位置放置，A与C重合，O与E重合．
（1）求图1中A，B，D三个点的坐标．
（2）Rt△AOB固定不动，Rt△CED沿x轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，当点D运动到与B点重合时停止，设运动x秒后Rt△AOB和Rt△CED的重叠部分面积为y，求y与x之间的函数关系式．
（3）当Rt△CED以（2）中的速度和方向运动，运动时间x=4秒时，Rt△CED运动到如图2所示的位置，求经过A，G，C三点的抛物线的解析式．

分析（1）Rt△AOB≌Rt△CED且直角边为6，所以有A（0，6），B（6，0），D（-6，0），
（2）Rt△CED沿x轴以每秒2个单位长的速度向右运动，且DE=6，所以在运动过程中有两种情况，即D点仍停留在y轴左侧和D在y轴右侧，需分情况讨论．在第一种情况中，重合部分为两个全等的直角梯形，在第二种情况中，重合部分为一个等腰直角三角形，面积易求出．
（3）当运动时间为4秒时，即为（2）中第二种情况，此时A、G、C坐标均可求出，可利用待定系数法进行求解．

解答解：（1）因为两个直角边为6的全等的等腰Rt△AOB和Rt△CED中，
可得：A（0，6），B（6，0），D（-6，0）．
（2）当0≤x＜3时，位置如图A所示，
作GH⊥DB，垂足为H，可知：OE=2x，EH=x，
DO=6-2x，DH=6-x，
∴y=2S_梯形IOHG=2（S_△GHD-S_△IOD）
=2[$\frac{1}{2}$（6-x）²-$\frac{1}{2}$（6-2x）²]
=2（$\frac{3}{2}$x²+6x）
=-3x²+12x
当3≤x≤6时，位置如图B所示．
可知：DB=12-2x
∴y=S_△DGB=$\frac{1}{2}（\frac{\sqrt{2}}{2}DB）^{2}$=$\frac{1}{2}[\frac{\sqrt{2}}{2}$（12-2x）]²=x²-12x+36
∴y与x的函数关系式为：$y=\left\{\begin{array}{l}{-3{x}^{2}+12x（0≤x＜3）}\\{{x}^{2}-12x+36（3≤x≤6）}\end{array}\right.$；
（3）图B中，作GH⊥OE，垂足为H，
当x=4时，OE=2x=8，DB=12-2x=4，
∴GH=DH=$\frac{1}{2}$DB=2，OH=6-HB=6-$\frac{1}{2}$，DB=6-2=4
∴可知A（0，6），G（4，2），C（8，6），
∴经过A，G，C三点的抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{4}$（x-4）²+2=$\frac{{x}^{2}}{4}$-2x+6．