Question

3．已知，如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE；垂足为E．
（1）求证：△ABD≌△CAE；
（2）判断四边形ADCE的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）先证明AD=CE，∠BAD=∠ACE，再利用SAS证明△ABD≌△CAE．
（2）利用有一个角是直角的平行四边形是矩形来证明．

解答 （1）证明：∵AB=AC，BD=DC，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，
∵CE⊥BC，
∴AD∥CE，
∵AE∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴AD=CE，∠DAC=∠ACE=∠BAD，
在△ABD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠ACE}\\{AD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE．
（2）结论四边形AECD是矩形．理由如下，
由（1）可知四边形AECD是平行四边形，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴四边形AECD是矩形．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，矩形的判定方法，属于中考常考题型．