Question

15．如图1，在边长为2的正方形ABCD中，P是对角线BD上的动点，点E在射线AD上，且PA=PE．
（1）求证：PC=PE；
（2）求∠EPC的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为边长为2的菱形ABCD，且∠ABC=120°，其他条件不变，连接CE，求AP•CE的最小值．

Answer 1

分析 （1）先证出△ABP≌△CBP，得PA=PC，由于PA=PE，得PC=PE；
（2）由△ABP≌△CBP，得∠BAP=∠BCP，进而得∠DAP=∠DCP，由PA=PC，得到∠DAP=∠E，∠DCP=∠E，最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论；
（3）借助（1）和（2）的证明方法易证△EPC是等边三角形，由等边三角形的性质可得AP=CE，当AP•CE的值最小时，则AP最小，由垂线段最短可知当AP⊥BD时，AP最小，利用勾股定理求出AP的值即可得到两条线段乘积的最小值．

解答 （1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，
∠ABP=∠CBP=45°，
在△ABP和△CBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABP=∠CBP}\\{PB=PB}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，
∵PA=PE，
∴PC=PE；

（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP=∠BCP，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，
∴∠DAP=∠E，
∴∠DCP=∠E，
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠E，
即∠CPF=∠EDF=90°；

（3）在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=60°，
在△ABP和△CBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABP=∠CBP}\\{PB=PB}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，
∵PA=PE，
∴PC=PE，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PC，
∴∠DAP=∠AEP，
∴∠DCP=∠AEP
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠AEP，
即∠CPF=∠EDF=180°-∠ADC=180°-120°=60°，
∴△EPC是等边三角形，
∴PC=CE，
∴AP=CE，
当AP•CE的值最小时，则AP最小，由垂线段最短可知当AP⊥BD时，AP最小，此时AP=$\sqrt{A{B}^{2}-B{P}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴AP•CE的最小值=$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=3．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，熟记正方形的性质确定出∠ABP=∠CBP是解题的关键．