Question

如图，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB与∠E都是直角，点C在AD边上，BC=

2

，把△ABC绕点A按顺时针方向旋转n度后恰好与△ADE重合，则n的值是

 

，点C经过的路线长是

 

，线段BC在上述旋转过程中所扫过部分的面积是

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质,等腰直角三角形,弧长的计算,扇形面积的计算

专题：计算题

分析：先根据等腰直角三角形的性质得AC=BC=

2

，AB=

2

BC=2，∠BAC=45°，再根据旋转的性质得∠CAE=∠BAD=45°，∠BAD等于旋转角，即可得到n=45°；由于点C经过的路线为以点A为圆心，半径为

2

，圆心角为45°的弧，则可根据弧长公式计算点C经过的路线长；以A为圆心，AC为半径的弧交AB于F，如图，易得S_扇形EAC=S_扇形EAC，S_△ABC=S_△ADE，所以线段BC在上述旋转过程中所扫过部分的面积=S_扇形BAD-S_扇形FAC，然后根据扇形面积公式求解．

解答：解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC=

2

，AB=

2

BC=

2

×

2

=2，∠BAC=45°，
∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转后与△ADE重合，
∴∠CAE=∠BAD=45°，∠BAD等于旋转角，
即n=45°；
∴点C经过的路线长=

45•π• 2

180

=

2

4

π，
以A为圆心，AC为半径的弧交AB于F，如图，
∵∠FCA=∠EAC=45°，
∴S_扇形EAC=S_扇形EAC，
∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转后与△ADE重合，
∴S_△ABC=S_△ADE，
∴线段BC在上述旋转过程中所扫过部分的面积=S_扇形BAD-S_扇形FAC=

45•π•22

360

-

45•π•( 2 )2

360

=

1

4

π．
故答案为45°，

2

4

π，

1

4

π．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形、弧长公式和扇形的面积公式．注意求不规则图形的面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．