Question

如图，抛物线y=mx²-2mx-3m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）请求出抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A、B两点的坐标；
（2）经探究可知，△BCM与△ABC的面积比不变，试求出这个比值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：计算题

分析：（1）抛物线解析式化为顶点形式，表示出M坐标即可；令y=0求出x的值，即可确定出A与B的坐标；
（2）令x=0，求出y的值，表示出C坐标，进而表示出三角形ABC面积，由梯形OCMD面积+三角形BDM面积-三角形BOC面积确定出三角形BCM面积，即可确定出面积之比．

解答：解：（1）∵y=mx²-2mx-3m=m（x-1）²-4m，
∴抛物线顶点M坐标为（1，-4m），
∵抛物线y=mx²-2mx-3m（m＞0）与x轴交于A、B两点，
∴当y=0时，mx²-2mx-3m=0，
∵m＞0，∴x²-2x-3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
则A、B两点的坐标为（-1，0），（3，0）；
（2）当x=0时，y=-3m，即C（0，-3m），
∴S_△ABC=

1

2

×|3-（-1）|×|-3m|=6|m|=6m，
过M作MD⊥x轴于点D，则有OD=1，BD=OB-OD=2，MD=|-4m|=4m，
∴S_△BCM=S_△BDM+S_梯形OCMD-S_△BOC=

1

2

BD•DM+

1

2

（OC+DM）•OD-

1

2

OB•OC
=

1

2

×2×4m+

1

2

×（3m+4m）×1-

1

2

×3×3m=3m，
则△BCM与△ABC的面积比不变，为1：2．

点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，根据题意表示出A，B，C三点坐标是解本题的关键．