如图.直线l1:y1=-x+2与x轴.y轴分别交于A.B两点.点P(m.3)为直线l1上一点.另一直线l2:y2=12x+b过点P．(1)求点P坐标和b的值,(2)若点C是直线l2与x轴的交点.动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动．设点Q的运动时间为t秒．①请写出当点Q在运动过程中.△APQ的面积S与t的函数关系式,②求出t为多少时.△APQ的面积小于3,③是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

如图，直线l₁：y₁=-x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P（m，3）为直线l₁上一点，另一直线l₂：y₂=

1

2

x+b过点P．
（1）求点P坐标和b的值；
（2）若点C是直线l₂与x轴的交点，动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动．设点Q的运动时间为t秒．
①请写出当点Q在运动过程中，△APQ的面积S与t的函数关系式；
②求出t为多少时，△APQ的面积小于3；
③是否存在t的值，使△APQ为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）把P（m，3）的坐标代入直线l₁上的解析式即可求得P的坐标，然后根据待定系数法即可求得b；
（2）根据直线l₂的解析式得出C的坐标，①根据题意得出AQ=9-t，然后根据S=

1

2

AQ•|y_P|即可求得△APQ的面积S与t的函数关系式；②通过解不等式-

3

2

t+

27

2

＜3，即可求得t＞7时，△APQ的面积小于3；③分三种情况：当PQ=PA时，则（t-7+1）²+（0-3）²=（2+1）²+（0-3）²，当AQ=PA时，则（t-7-2）²=（2+1）²+（0-3）²，当PQ=AQ时，则（t-7+1）²+（0-3）²=（t-7-2）²，即可求得．

解答：解；（1）∵点P（m，3）为直线l₁上一点，
∴3=-m+2，解得m=-1，
∴点P的坐标为（-1，3），
把点P的坐标代入y₂=

1

2

x+b得，3=

1

2

×（-1）+b，
解得b=

7

2

；

（2）∵b=

7

2

，
∴直线l₂的解析式为y=

1

2

x+

7

2

，
∴C点的坐标为（-7，0），
①由直线l₁：y₁=-x+2可知A（2，0），
∴当Q在A、C之间时，AQ=2+7-t=9-t，
∴S=

1

2

AQ•|y_P|=

1

2

×（9-t）×3=

27

2

-

3

2

t；
当Q在A的右边时，AQ=t-9，
∴S=

1

2

AQ•|y_P|=

1

2

×（t-9）×3=

3

2

t-

27

2

；
即△APQ的面积S与t的函数关系式为S=-

3

2

t+

27

2

或S=

3

2

t-

27

2

；
②∵S＜3，
∴-

3

2

t+

27

2

＜3或

3

2

t-

27

2

＜3
解得t＞7或t＜11．
③存在；
设Q（t-7，0），
当PQ=PA时，则（t-7+1）²+（0-3）²=（2+1）²+（0-3）²
∴（t-6）²=3²，解得t=3或t=9（舍去），
当AQ=PA时，则（t-7-2）²=（2+1）²+（0-3）²
∴（t-9）²=18，解得t=9+3

2

或t=9-3

2

；
当PQ=AQ时，则（t-7+1）²+（0-3）²=（t-7-2）²，
∴（t-6）²+9=（t-9）²，解得t=6．
故当t的值为3或9+3

2

或9-3

2

或6时，△APQ为等腰三角形．

点评：本题是一次函数的综合题，考查了一次函数图象上的点的坐标特征，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质以及三角形的面积等，分类讨论是解题关键．

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