Question

7．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．如果一条直线与果圆只有一个交点，则这条直线叫做果圆的切线．已知A、B、C、D四点为果圆与坐标轴的交点，E为半圆的圆心，抛物线的解析式为y=x²-2x-3，AC为半圆的直径．
（1）分别求出A、B、C、D四点的坐标；
（2）求经过点D的果圆的切线DF的解析式；
（3）若经过点B的果圆的切线与x轴交于点M，求△OBM的面积．

Answer 1

分析 （1）连接DE，根据坐标轴上点的坐标特征求出A、B、C的坐标，根据题意求出半圆的直径，根据勾股定理求出OD的长，得到点D的坐标；
（2）根据射影定理求出EF的长，得到点F的坐标，运用待定系数法求出经过点D的果圆的切线DF的解析式；
（3）根据切线的性质得到经过点B的果圆的切线与抛物线只有一个公共点，根据一元二次方程的判别式解答即可求出点M的坐标，根据三角形的面积公式计算即可．

解答 解：（1）连接DE，
∵y=x²-2x-3，
∴x=0时，y=-3，
y=0时，x₁=-1，x₂=3，
∴点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（0，-3），点C的坐标为（3，0），
∵AC=4，
∴AE=DE=2，
∴OE=1，
∴OD=$\sqrt{D{E}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴D点的坐标为（0，$\sqrt{3}$）；
（2）∵DF是果圆的切线，
∴ED⊥DF，又DO⊥EF，
∴DE²=EO•EF，
∴EF=4，则OF=3，
∴点F的坐标为（-3，0），
设经过点D的果圆的切线DF的解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$．
∴经过点D的果圆的切线DF的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$；
（3）设经过点B的果圆的切线的解析式为：y=ax+c，
∵点B的坐标为（0，-3），
∴经过点B的果圆的切线的解析式为：y=ax-3，
由题意得，方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=ax-3}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$只有一个解，
即一元二次方程x²-（a+2）x=0有两个相等的实数根，
△=（a+2）²-4×1×0=0，
解得a=-2，
∴经过点B的果圆的切线的解析式为：y=-2x-3，
当y=0时，x=-$\frac{3}{2}$，
∴点M的坐标为（-$\frac{3}{2}$，0），即OM=$\frac{3}{2}$，
∴△OBM的面积=$\frac{1}{2}$×OM×OB=$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查的是圆的切线的性质、待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程根与系数的关系以及坐标与图形的性质，灵活运用相关的定理、数形结合思想以及方程思想是解题的关键．