Question

2．已知：如图，平面直角坐标系中，A（0，8），B（0，4），点C是x轴上一点，点D为OC的中点．
（1）求证：BD∥AC；
（2）若点C在x轴正半轴上，且BD与AC的距离等于2，求点C的坐标；
（3）如果OE⊥AC于点E，当四边形ABDE为平行四边形时，求直线AC的解析式．

Answer 1

分析 （1）由A与B的坐标求出OA与OB的长，进而得到B为OA的中点，而D为OC的中点，利用中位线定理即可得证；
（2）如图1，作BF⊥AC于点F，取AB的中点G，确定出G坐标，由平行线间的距离相等求出BF的长，在直角三角形ABF中，利用斜边上的中线等于斜边的一半求出FG的长，进而确定出三角形BFG为等边三角形，即∠BAC=30°，设OC=x，则有AC=2x，利用勾股定理表示出OA，根据OA的长求出x的值，即可确定出C坐标；
（3）如图2，当四边形ABDE为平行四边形时，AB∥DE，进而得到DE垂直于OC，再由D为OC中点，得到OE=CE，再由OE垂直于AC，得到三角形AOC为等腰直角三角形，求出OC的长，确定出C坐标，设直线AC解析式为y=kx+b，将A与C坐标代入求出k与b的值，即可确定出AC解析式．

解答 解：（1）∵A（0，8），B（0，4），
∴OA=8，OB=4，点B为线段OA的中点，
∵点D为OC的中点，即BD为△AOC的中位线，
∴BD∥AC；

（2）如图1，作BF⊥AC于点F，取AB的中点G，则G（0，6），
∵BD∥AC，BD与AC的距离等于2，
∴BF=2，
∵在Rt△ABF中，∠AFB=90°，AB=4，点G为AB的中点，
∴FG=BG=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴△BFG是等边三角形，∠ABF=60°．
∴∠BAC=30°，
设OC=x，则AC=2x，
根据勾股定理得：OA=$\sqrt{A{C}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{3}$x，
∵OA=8，
∴x=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∵点C在x轴的正半轴上，
∴点C的坐标为（$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，0）；

（3）如图2，当四边形ABDE为平行四边形时，AB∥DE，
∴DE⊥OC，
∵点D为OC的中点，
∴OE=EC，
∵OE⊥AC，
∴∠OCA=45°，
∴OC=OA=8，
∵点C在x轴的正半轴上，
∴点C的坐标为（8，0），
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0）．
将A（0，8），C（8，0）得：
$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{b=8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=8}\end{array}\right.$．
∴直线AC的解析式为y=-x+8．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：三角形中位线定理，坐标与图形性质，待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．