Question

2．如图1，在正方形ABCD中，点E从点C出发，沿CD向点D运动，连结AE，以AE为直径作⊙O，交正方形的对角线BD于点F，连结AF，EF，以点D为垂足，作BD的垂线，交⊙O于点G，连结GA，GE．
[发现]
（1 ）在点E运动过程中，找段AF=EF（填“＞”、“=”或“＜”）
（2）求证：四边形AGEF是正方形；
[探究]（3）当点E在线段CD上运动时，探索BF、FD、AE之间满足的等量关系，开加以证明；当点E在线段CD的延长线上运动时，上述等量关系是否成立？（答“成立”或“不成立”）
[拓展]
（4）如图2，矩形MNST中，MN=6，MT=8，点Q从点S出发，沿射线SN运动，连结MQ，以MQ为直径作⊙K，交射线TN于点P，以MP，QP为邻边作⊙K的内接矩形MHQP．当⊙K与射线TN相切时，点Q停止运动，在点Q运动过程中，设矩形MHQP的面积为S，MP=m．
①求S关于m的函数关系式，并求S的最值；
②直接写出点H移动路线的长．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是正方形，得到∠ADB=∠AEF=45°，推出△AEF是等腰直角三角形，于是得到结论；
（2）根据圆周角定理得到FG为⊙O的直径，推出∠FAG=∠FEG=90°，根据正方形的判定定理即可得到结论；
（3）根据已知条件得到△BAF≌△DAG，证得BF=GD，根据勾股定理得到GD²+FD²=FG²，即可得到结论；
（4）①根据圆周角定理得到∠MQP=∠MNP，∠MPQ=∠TMN=90°，推出△MPQ∽△TMN，根据相似三角形的性质得到S=2S_△MPQ=2•$\frac{3}{8}$m²=$\frac{3}{4}$m²，当点Q在射线SN上运动过程中，点P在TN上运动，当点P与点T重合时，MP取得最大值，即m_大=MT=8；当MP⊥TN时，MP取得最小值，于是得到结论；
②如图3，因为当⊙K与射线TN相切时，点Q停止运动，于是得到点H的起点为点N，终点为图3中的点H，点H移动的路线即为线段NH，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）=；
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB=∠AEF=45°，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠AFE=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AE=EF，
故答案为：=；

（2）证明：如图1，连接FG，
∵∠FDG=90°，
∴FG为⊙O的直径，
∴∠FAG=∠FEG=90°，
又∵AE是⊙O的直径，
∴∠AFE=∠AGE=90°，
由（1）知AF=EF，
∴四边形AGEF是正方形；

（3）如图1，连接FG，
∵∠BAD=∠FAG=90°，
∴∠BAF=∠DAG，
在△BAF与△DAG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAF=∠DAG}\\{AF=AG}\end{array}\right.$，
∴△BAF≌△DAG，
∴BF=GD，
又∵AE=FG，
∴在Rt△FDG中，GD²+FD²=FG²，
即BF²+FD²=AE²，
当点E在线段CD的延长线上运动时，上述等量关系仍然成立；

（4）①如图2，在以MQ为直径作⊙K中，
∵∠MQP=∠MNP，∠MPQ=∠TMN=90°，
∴△MPQ∽△TMN，S_△TMN=$\frac{TM•MN}{2}$=$\frac{8×6}{2}$=24，
∴$\frac{{{S_{△MPQ}}}}{{{S_{△TMN}}}}={（{\frac{MP}{TM}}）^2}$，$\frac{{{S_{△MPQ}}}}{24}={（{\frac{m}{8}}）^2}$，${S_{△MPQ}}=\frac{3}{8}{m^2}$，
∴S=2S_△MPQ=2•$\frac{3}{8}$m²=$\frac{3}{4}$m²，
当点Q在射线SN上运动过程中，点P在TN上运动，
当点P与点T重合时，MP取得最大值，即m_大=MT=8；
当MP⊥TN时，MP取得最小值，即m_小=$\frac{MT•MN}{TN}=\frac{8×6}{10}=\frac{24}{5}$，
∴$\frac{24}{5}$≤m≤8，由$S=\frac{3}{4}{m^2}$得，
当m=8时，${S_大}=\frac{3}{4}×{8^2}=48$；
当m=$\frac{24}{5}$时，${S_小}=\frac{3}{4}×{（{\frac{24}{5}}）^2}=\frac{432}{25}$；
②如图3，连接NH并延长，在点Q的运动过程中，
始终有∠MNH=∠MTN=定值，因为当⊙K与射线TN相切时，点Q停止运动，
∴点H的起点为点N，终点为图3中的点H，点H移动的路线即为线段NH，
∵△MHN∽△STN，
∴$\frac{HN}{TN}=\frac{MN}{SN}$，即$\frac{HN}{10}=\frac{6}{8}$，
∴HN=$\frac{15}{2}$，
∴点H移动的路线长为$\frac{15}{2}$．

点评 本题考查了正方形的性质和判定，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，正确的理解题意，画出图形是解题的关键．