Question

4．观察：
①$\sqrt{1+\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}}=1+\frac{1}{1}-\frac{1}{1+1}=1\frac{1}{2}$：
②$\sqrt{1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2+1}=1\frac{1}{6}$：
③$\sqrt{1+\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{4}^{2}}}=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{3+1}=1\frac{1}{12}$．
按照上面的规律$\sqrt{1+\frac{1}{{4}^{2}}+\frac{1}{{5}^{2}}}$=1$\frac{1}{20}$．
当n为正整数时，$\sqrt{1+\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{（n+1）^{2}}}$的值为1$\frac{1}{n（n+1）}$．

Answer 1

分析 根据题中给出的列子找出规律即可得出结论．

解答 解：观察：
①$\sqrt{1+\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}}=1+\frac{1}{1}-\frac{1}{1+1}=1\frac{1}{2}$：
②$\sqrt{1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2+1}=1\frac{1}{6}$：
③$\sqrt{1+\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{4}^{2}}}=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{3+1}=1\frac{1}{12}$．
∴$\sqrt{1+\frac{1}{{4}^{2}}+\frac{1}{{5}^{2}}}$=1+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{4+1}$=1$\frac{1}{20}$，
当n为正整数时，$\sqrt{1+\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{（n+1）^{2}}}$=1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1$\frac{1}{n（n+1）}$．
故答案为：1$\frac{1}{20}$，1$\frac{1}{n（n+1）}$．

点评 本题考查的是二次根式的性质与化简，根据题意找出规律是解答此题的关键．