Question

14．如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C′的位置．
（1）若∠1：∠3=3：4，求∠3的度数．
（2）若AB=4.8，AD=6.4，动点P从B点出发以每秒1个单位的速度沿B→E→F的路线运动至F结束，当时间t等于多少时，点P到△BEF的两边的距离相等？

Answer 1

分析 （1）可以假设∠1=3x，∠3=4x，由∠3+∠FEB+∠2=180°，∠2=∠FEB=3x，列出方程即可解决问题．
（2）设AE=a，则EB=ED=6.4-x，在Rt△AEB中，由AB²+AE²=EO²，可得4.8²+x²=（6.4-x）²，解方程即可得点E的坐标，作EH⊥OC于H，则四边形AOHE是矩形，EH=OA=4.8，先求出EO、OF，分两种情形①当点P在OE上时，作P₁M⊥EF于M，P₁N⊥OF于N，根据$\frac{{S}_{△EF{P}_{1}}}{{S}_{△OF{P}_{1}}}$=$\frac{\frac{1}{2}EF•{P}_{1}M}{\frac{1}{2}OF•{P}_{1}N}$=$\frac{{P}_{1}E}{{P}_{1}O}$=$\frac{6}{5}$，由此即可求出OP．②当点P在EF上时，由OE=OF，可知EP₂=FP₂时，点P到OE，OF两边距离相等，由此即可解决问题．

解答 解：（1）∵∠1：∠3=3：4，
∴可以假设∠1=3x，∠3=4x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠DAB=90°，
∴∠2=∠1=3x，
∵∠3+∠FEB+∠2=180°，∠2=∠FEB=3x，
∴4x+3x+3x=180°，
∴x=18°，
∴∠3=4x=72°．

（2）设AE=a，则EB=ED=6.4-x，
在Rt△AEB中，∵AB²+AE²=EO²，
∴4.8²+x²=（6.4-x）²，
∴x=1.4，
∴点E坐标（1.4，4.8）．
作EH⊥OC于H，

则四边形AOHE是矩形，EH=OA=4.8，
由（2）可知，EO=$\sqrt{A{E}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{4．{8}^{2}+1．{4}^{2}}$=5，
∵∠OEF=∠1，
∴OE=OF=5，
∴EF=$\sqrt{E{H}^{2}+H{F}^{2}}$=$\sqrt{4．{8}^{2}+3．{6}^{2}}$=6．
①当点P在OE上时，作P₁M⊥EF于M，P₁N⊥OF于N，
如果P₁M=P₁N，
则有$\frac{{S}_{△EF{P}_{1}}}{{S}_{△OF{P}_{1}}}$=$\frac{\frac{1}{2}EF•{P}_{1}M}{\frac{1}{2}OF•{P}_{1}N}$=$\frac{{P}_{1}E}{{P}_{1}O}$=$\frac{6}{5}$，
∴OP₁=$\frac{5}{11}$×5=$\frac{25}{11}$，
∴t=$\frac{25}{11}$s时．
②当点P在EF上时，∵OE=OF，
∴EP₂=FP₂时，点P到OE，OF两边距离相等，
此时t=5+3=8s．
综上所述，t=$\frac{25}{11}$s或8s时，点P到△BEF的两边的距离相等．

点评 本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质、勾股定理、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练应用所学知识，学会利用面积法求有关线段．