Question

19．阅读材料：如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点M是AB边上的一点，过点M分别作ME∥BD，MF∥AC交直线AC，BD于点E，F，显然四边形OEMF是平行四边形．

探究发现：
（1）当对角线AC，BD满足AC⊥BD时，四边形OEMF是矩形．
（2）如图2，若四边形ABCD是矩形，且M是AB的中点，判断四边形OEMF是什么特殊的平行四边形，并写出证明过程．
拓展延伸：
（3）如图3，在四边形ABCD为矩形的条件下，若点M是边AB延长线上的一点，此时OA，ME，MF三条线段之间存在怎样的数量关系？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由矩形的判断方法即可，
（2）由三角形的中位线判断出ME=MF，得到邻边相等平行四边形是菱形；
（3）先判断出四边形OEMF是平行四边形，再由平行四边形的性质得到EA=EM，即可．

解答 （1）解：要使平行四边形OEMF是矩形，
∴∠AOB=90°，
∴AC⊥BD，
故答案为AC⊥BD．
（2）四边形OEMF是菱形．
证明：
在矩形ABCD中，OA=OB，
∵点M是AB的中点，ME∥BD，MF∥AC，
∴ME=$\frac{1}{2}$OB，MF=$\frac{1}{2}$OA，
∴ME=MF，
∵四边形OEMF是平行四边形，
∴四边形OEMF是菱形．
（3）解：MF+OA=ME，
理由：在矩形ABCD中，OA=OB，
∵ME∥BD，MF∥AC，
∴四边形OEMF是平行四边形，
∴MF=EO，
∴∠OAB=∠OBA=∠EMA，
∴EA=EM，
∵MF=OE，
∴MF+OA=ME

点评 本题是四边形的比较简单的综合题，主要考查了特殊的四边形的性质和判定，解本题的关键是熟练特殊四边形的性质和判定，本题的疑点是特殊四边形的性质和判定的区别．