Question

4．如图，抛物线y=-x²+3x+4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，P（m，n）为第一象限内抛物线上的一点，点D的坐标为（0，6）．
（1）OB=4，抛物线的顶点坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{4}$）；
（2）当n=4时，求点P关于直线BC的对称点P′的坐标；
（3）是否存在直线PD，使直线PD所对应的一次函数随x的增大而增大？若存在，直接写出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据y=0时，即-x²+3x+4=0，求出x的值，即可确定点A，点B坐标，即可求出OB；由抛物线的顶点式，即可确定抛物线的顶点坐标；
（2）连接CP，CP′，先求出m的值，确定这时P点的坐标为（3，4），再确定点D的坐标，求出∠OCB=45°=∠BCP，从而确定点P′在y轴上，且CP′=CP=3，即可解答．
（3）存在，根据直线PD所对应的一次函数随x的增大而增大，所以一次函数的图象一定经过一、三象限，即可得到1＜m＜2．

解答 解：（1）当y=0时，即-x²+3x+4=0，
解得：x₁=4，x₂=-1，
∴点A（-1，0）点B（4，0），
∴OB=4，
y=-x²+3x+4=$-（x-\frac{3}{2}）^{2}+\frac{25}{4}$，
∴抛物线的顶点坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{4}$），
故答案为：4，（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{4}$）．
（2）如图，连接CP，CP′，

n=4时，-m²+3m+4=4，
解得：m₁=3，m₂=0（舍去），
∴这时P点的坐标为（3，4），
∵OC=4，
∴CP∥x轴，CP=3，
∵点C的坐标为（0，4），
∴OB=OC=4，
∴∠OCB=45°=∠BCP，
∴点P′在y轴上，且CP′=CP=3，
∴P′的坐标为（0，1）．
（3）存在，
∵点D的坐标为（0，6），
∴当y=6时，-x²+3x+4=6，
解得：x₁=1，x₂=2，
∵直线PD所对应的一次函数随x的增大而增大，
∴一次函数的图象一定经过一、三象限，
∴1＜m＜2．

点评 本题考查了二次函数的性质、等腰直角三角形的性质、一次函数的性质、点的对称，解决本题的关键是熟记二次函数的性质、一次函数的性质．