如图①.平面直角坐标系中.矩形OABC的边OA.OC分别在x轴.y轴的正半轴上.点B的坐标为(2.4).将矩形OABC绕着点A顺时针旋转90°得到矩形AFED.直线y=kx+b经过点G(4.0).交y轴于点H．(1)点D.E的坐标分别为D．(2)当直线GH经过EF中点K时.如图②.动点P从点C出发.沿着折线C-B-D以每秒1个单位速度向终点D运动.连结PH.PG.设点P运动的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．如图①，平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（2，4），将矩形OABC绕着点A顺时针旋转90°得到矩形AFED，直线y=kx+b经过点G（4，0），交y轴于点H．
（1）点D、E的坐标分别为D（2，2），E（6，2）．
（2）当直线GH经过EF中点K时，如图②，动点P从点C出发，沿着折线C-B-D以每秒1个单位速度向终点D运动，连结PH、PG，设点P运动的时间为t（秒），△PGH的面积为S（平方单位）．
①求直线GH所对应的函数关系式．
②求S与t之间的函数关系式．
（3）当直线GH经过点E时，如图③，点Q是折线B-D-E-F上的点，过点Q作QM⊥GH于点M，作QN⊥x轴于点N，当△QMN为等腰三角形时，直接写出点Q的坐标．

分析（1）由矩形的性质和选转的性质即可，
（2）利用待定系数法求出GH的解析式，三角形的面积等于另几个三角形的面积的和或差计算；
（3）方法一：根据运动特点和图形的性质，确定出点Q，N，M的坐标，利用两点间的距离公式求出对应相等，△QMN为等腰三角形，分三种情况建立方程求解，即可．
方法二：先判断出∠EGF=∠FEG=∠DEG=45°，再分三种讨论计算即可得出结论．

解答解：（1）∵矩形OABC绕着点A顺时针旋转90°得到矩形AFED，且B（2，4），
∴OA=AD=2，OC=AF=4，
∴D（2，2），E（6，2）；
故答案为D（2，2），E（6，2）；
（2）①解：∵E（6，2），G（4，0），
∴K（6，1），
∵直线y=kx+b经过点G，K，
∴$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=1}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴直线GH的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2，

②当0≤t≤2时，延长CB交HG于W，如图①，
S_△PHG=S_△SHW-S_△HCP-S_△PGW=$\frac{1}{2}$[[6×12-6t-4（12-t）]=-t+12，

②当2＜t≤4时，延长BA交HG于T，如图②，
S_△PHG=S_△PTH+S_△PGT=$\frac{1}{2}$×4（7-t）=-2t+14，
（3）方法一：①当0≤t≤2时，如图③，

由题意，得N（2，0），Q（2，4-t），
∵G（4，0），E（6，2），
∴直线HE的解析式为y=x-4①，
∵QM⊥HE，
∴直线QM的解析式y=-x+6-t②，
联立①②得，M（$\frac{10-t}{2}$，$\frac{2-t}{2}$），
∴QN²=（4-t）²，MN²=$\frac{{（t-6）}^{2}}{4}$+$\frac{（2-t）^{2}}{4}$，QM²=$\frac{（t-6）^{2}}{2}$，
（Ⅰ）、当QN=QM时，即QN²=QM²，
∴（4-t）²=$\frac{{（t-6）}^{2}}{4}$+$\frac{（2-t）^{2}}{4}$，
∴t=2或t=6（舍），
∴Q（2，2）
（Ⅱ）、当QN=QM时，方法同（Ⅰ）的一样，得t=2±2$\sqrt{2}$（舍），
（Ⅲ）、当MN=QM时，方法同（Ⅰ）的一样，得t=4（舍），
②当2＜t≤6时，
由题意，得N（t，0），Q（t，2），M（$\frac{t+6}{2}$，$\frac{t-2}{2}$），
方法和①（Ⅰ）一样，分三种情况，
（Ⅰ）、当QN=QM时，t=6+2$\sqrt{2}$（舍），或t=6-2$\sqrt{2}$，
∴Q（6-2$\sqrt{2}$，2）；
（Ⅱ）、当QN=MN时，t=-8（舍）或t=2（舍），；
（Ⅲ）、当QM=MN时，t=4，
∴Q（4，2）；
③当6＜t≤8时，
由题意，得N（6，0），Q（6，8-t），M（$\frac{18-t}{2}$，-$\frac{t-10}{2}$），
方法和①（Ⅰ）一样，分三种情况，
（Ⅰ）、当QN=QM时，t=10+2$\sqrt{2}$（舍），或t=10-2$\sqrt{2}$，
∴Q（6，2$\sqrt{2}$-2）；
（Ⅱ）、当QN=MN时，t=6（舍）或t=10（舍）
（Ⅲ）、当QM=MN时，t=8（舍）；
∴Q（6-2$\sqrt{2}$，2）或Q（2，2）或Q（4，2）或Q（6，2$\sqrt{2}$-2）；
方法二，∵G（4，0），E（6，2），
∴直线EG的解析式为y=x-4，
∴∠EGF=45°，
∴∠DEG=∠GEF=45°，
①如图4，

当点Q在BD上时，
∵QM⊥EG，
∴∠EMQ=90°，
∵∠DEG=45°，
∴∠DHQ=∠EHM=45°，
∴∠DQH=45°，
∵△QMN为等腰三角形，
∵∠QMN＜90°，
∴只有QN=QM，
∵∠QAF=∠QMG=90°，
∴GN=GM=2，
∴M（4+$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
设Q（2，m），
∴QN=m，QM=$\sqrt{（4+\sqrt{2}-2）^{2}+（\sqrt{2}-m）^{2}}$，
∴m=$\sqrt{（4+\sqrt{2}-2）^{2}+（\sqrt{2}-m）^{2}}$，
∴m=4$\sqrt{2}$+4＞4（舍）
②如图5，

当点Q在DE上，QN=2，
Ⅰ、当QM=QN=2时，在Rt△EMQ中，∠QEG=45°，∴
EQ=$\sqrt{2}$QM=2$\sqrt{2}$，
∴Q（6-2$\sqrt{2}$，2），
Ⅱ、当QM=MN时，点M是QN的垂直平分线，
∴点M是EG的中点，
在Rt△EFG中，FG=$\sqrt{2}$EF=2$\sqrt{2}$，
∴EM=$\sqrt{2}$，
∴QE=$\sqrt{2}$EM=2，
∴Q（4，2），
Ⅲ、当MN=QN时，∵∠EQM=45°，
∴∠MQN=45°，
∴∠QNM=90°，
∴点M和点G重合，
∵AG=2，
∴Q（2，2），
③如图6，

点Q在EF上时，∵∠EMQ=90°，∠NEG=45°，
∴∠EQM=45°，
∴∠NQM=135°，
∴只有QM=QN，
设QN=x，∴EQ=2-x，
在Rt△EMQ中，MQ=QN=x，
根据勾股定理得，2-x=$\sqrt{2}$x，
∴x=2$\sqrt{2}$-2，
∴Q（6，2$\sqrt{2}$-2），
即：Q（6-2$\sqrt{2}$，2）或Q（2，2）或Q（4，2）或Q（6，2$\sqrt{2}$-2）；