Question

2．已知二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）经过点M（-1，2）和点N（1，-2），交x轴于A，B两点，交y轴于C．则：①b=-2； ②该二次函数图象与y轴交于负半轴； ③存在这样一个a，使得M、A、C三点在同一条直线上； ④若a=1，则OA•OB=OC²．以上说法正确的有（　　）

• A． ①②③④
• B． ②③④
• C． ①②④
• D． ①②③

Answer 1

分析 ①根据二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）经过点M（-1，2）和点N（1，-2），代入可得a、b、c的关系，然后通过变形可以得到b的值，即可判断①是否正确；
②根据二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）经过点M（-1，2）和点N（1，-2），代入可得a、b、c的关系，通过变形可以得到a、c的关系，由a＞0，即可判断c的正负，从而可以判断②是否正确；
③求出过点M、C的直线解析式，然后令y=0，求出相应的x的值，然后将x的值代入二次函数的解析式，看是否有a的值使得二次函数的值等于，注意a的值必须大于0，从而可以判断③是否正确；
④根据a的值可以得到二次函数的解析式，从而可以推出结论是否正确．

解答 解：∵二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）经过点M（-1，2）和点N（1，-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=2}&{①}\\{a+b+c=-2}&{②}\end{array}\right.$
②-①，得2b=-4，
解得b=-2，故①b=-2正确；
②+①，得2（a+c）=0，
∴a+c=0，
∵a＞0，
∴c=-a＜0，故②正确；
设过点M（-1，2），点C（0，c）的直线的解析式为y=kx+m
∴$\left\{\begin{array}{l}{-k+m=2}\\{m=c}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=c-2}\\{m=c}\end{array}\right.$
∴y=（c-2）x+c，
∵c=-a，
∴y=（-a-2）x-a，
当y=0时，x=$\frac{-a}{a+2}$，
将x=$\frac{-a}{a+2}$代入y=ax²-2x-a，得y=$\frac{-2{a}^{2}}{（a+2）^{2}}$，
令$\frac{-2{a}^{2}}{（a+2）^{2}}$=0，得a=0，
∵a＞0，∴a=0不符题意，故③错误；
当a=1时，二次函数的解析式为：y=x²-2x-1，
∴当y=0时，设x²-2x-1=0的两根为x₁，x₂，
∴${x}_{1}•{x}_{2}=\frac{-1}{1}=-1$，
∴OA•OB=|x₁|•|x₂|=|-1|=1=（-1）²=OC²，故④正确；
故选C．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想，找出所求结论需要的条件，可以判断所求结论是否正确．