Question

14．如图，在矩形ABCD中，∠A的平分线交BC于E，∠B的平分线交AD于F，求证：四边形ABEF是正方形．

Answer 1

分析 首先证明AB=BE，AB=AF可得BE=AF，再由矩形的性质可得AD∥BC，∠BAF=90°可得四边形ABEF是矩形，再由AB=AF可根据邻边相等的矩形是正方形可得结论．

解答 证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAF=90°，AD∥BC，
∴∠2=∠3，
∵AE平分∠BAF，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AB=BE，
同理可得AB=AF，
∴BE=AF，
∵AD∥BC，
∴AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵∠BAF=90°，
∴四边形ABEF是矩形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是正方形．

点评 此题主要考查了正方形的判定，关键是掌握正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．