Question

7．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．当t=$\frac{280}{183}$秒时，∠EPF=90°．

Answer 1

分析 以BC边所在直线为x轴，DA边所在直线为y轴，点D为坐标原点建立直角坐标系，用含时间t的代数式表示出P点坐标，结合相似三角形的性质可表示出E、F点的坐标，根据两点间的距离公式表示出△EPF的三条边长，由勾股定理列出关于t的一元二次方程，解方程即可得出结论．

解答 解：以BC边所在直线为x轴，DA边所在直线为y轴，点D为坐标原点建立直角坐标系，如图所示．

则点B（-5，0），点P（3t-5，0），点H（0，2t），点A（0，8），
∴AH=8-2t，BD=5，AD=8．
∵EF∥BC，
∴△AEH∽△ABD，
∴$\frac{EH}{BD}=\frac{AH}{AD}$，
∴EH=$\frac{5}{4}$（4-t），
∴点E的坐标为（-$\frac{5}{4}（4-t）$，2t），
同理点F的坐标为（$\frac{5}{4}（4-t）$，2t）．
由两点的间的距离公式可知：EF=$\frac{5}{2}$（4-t），PE=$\sqrt{[3t-5+\frac{5}{4}（4-t）]^{2}+（-2t）^{2}}$，PF=$\sqrt{[3t-5-\frac{5}{4}（4-t）]^{2}+（2t）^{2}}$，
∵∠EPF=90°，
∴有EF²=PE²+PF²，即$[\frac{5}{2}（4-t）]^{2}$=$[3t-5+\frac{5}{4}（4-t）]^{2}+（2t）^{2}$+$[3t-5-\frac{5}{4}（4-t）]^{2}+（2t）^{2}$，
解得：t=0（舍去），或t=$\frac{280}{183}$，
故答案为：$\frac{280}{183}$秒．

点评 本题考查了相似三角形的判定及性质、两点间的距离公式以及勾股定理，解题的关键是根据勾股定理得出关于t的一元二次方程．本题属于中档题，解题思路不难，但是数据较复杂，这就要求在解题中格外细心，以防丢分．