Question

18．如图，已知在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点M，E在AD上，点F在边AB上，并且DM=1，现将△AEF沿着直线EF折叠，使点A落在边CD上的点P处，则当PB+PM的和最小时，ME的长度为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{4}{9}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{5}{9}$

Answer 1

分析 延长AD到M′，使得DM′=DM=1，连接PM′，如图，当PB+PM的和最小时，M′、P、B三点共线，易证△DPM′∽△CPB，根据相似三角形的性质可求出DP，设AE=x，则PE=x，DE=2-x，然后在Rt△PDE中运用勾股定理求出x，由此可求出EM的值．

解答 解：延长AD到M′，使得DM′=DM=1，连接PM′，如图．
当PB+PM的和最小时，M′、P、B三点共线．
∵四边形ABCD是矩形，AB=4，BC=2，
∴DC=AB=4，AD=BC=2，AD∥BC，
∴△DPM′∽△CPB，
∴$\frac{DP}{PC}$=$\frac{DM′}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴DP=$\frac{1}{2}$PC，
∴DP=$\frac{1}{3}$DC=$\frac{4}{3}$．
设AE=x，则PE=x，DE=2-x，
在Rt△PDE中，
∵DE²+DP²=PE²，
∴（2-x）²+（$\frac{4}{3}$）²=x²，
解得：x=$\frac{13}{9}$，
∴ME=AE-AM=$\frac{13}{9}$-1=$\frac{4}{9}$．
故选B．

点评 本题主要考查了轴对称的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，在折叠矩形中通常可运用勾股定理来求线段长度．