Question

10．有一列数，a₁，a₂，a₃…a_n，其中a₁=-1，a₂=$\frac{1}{1-{a}_{1}}$，a₃=$\frac{1}{1-{a}_{2}}$…a_n=$\frac{1}{1-{a}_{n-1}}$．
（1）请分别求出a₁，a₂，a₃的值．
（2）求a₁+a₂+a₃+…+a_3n的值（用含n的式子表示）．
（3）若a₁=2，则a₁+a₂+a₃+…+a_3n的值不变（填“改变”或“不变”）

Answer 1

分析 （1）首先根据a₁=-1，可得a₂=$\frac{1}{1-{a}_{1}}$=$\frac{1}{1-（-1）}=\frac{1}{2}$；然后根据a₂=$\frac{1}{2}$，可得a₃=$\frac{1}{1-{a}_{2}}$=$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$=2，据此解答即可；
（2）首先根据a₁，a₂，a₃，…的取值情况，找出这列数的排列规律，然后根据数列的求和方法，求出a₁+a₂+a₃+…+a_3n的值是多少即可．
（3）若a₁=2，根据a₁，a₂，a₃，…的取值情况，找出这列数的排列规律，然后求出a₁+a₂+a₃+…+a_3n的值是多少，判断出a₁+a₂+a₃+…+a_3n的值改变不改变即可．

解答 解：（1）因为a₁=-1，
所以a₂=$\frac{1}{1-{a}_{1}}$=$\frac{1}{1-（-1）}=\frac{1}{2}$；
因为a₂=$\frac{1}{2}$，
所以a₃=$\frac{1}{1-{a}_{2}}$=$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$=2；
（2）因为a₃=2，
所以a₄=$\frac{1}{1{-a}_{3}}$=$\frac{1}{1-2}$=-1，
所以这列数是：-1、$\frac{1}{2}、2$、-1、$\frac{1}{2}、2、…$，每3个数一个循环：-1、$\frac{1}{2}$、2，
所以a₁+a₂+a₃+…+a_3n
=（-1+$\frac{1}{2}$+2）×3n÷3
=$\frac{3}{2}$×3n÷3
=1.5n
（3）若a₁=2，
则a₂=$\frac{1}{1-2}=-1$，a₃=$\frac{1}{2}$，a₄=2，a₅=-1，…，
所以这列数是：2、-1、$\frac{1}{2}、2$、-1、$\frac{1}{2}、2、…$，从第二个数开始，每3个数一个循环：-1、$\frac{1}{2}$、2，
则a₁+a₂+a₃+…+a_3n
=2+（-1+$\frac{1}{2}$+2）×3n÷3-2
=2+$\frac{3}{2}$×3n÷3-2
=2+1.5n-2
=1.5n
所以若a₁=2，则a₁+a₂+a₃+…+a_3n的值不变．
故答案为：不变．

点评 （1）此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出这列数是：-1、$\frac{1}{2}、2$、-1、$\frac{1}{2}、2、…$，每3个数一个循环：-1、$\frac{1}{2}$、2．
（2）此题还考查了数列的求和问题，要熟练掌握．