Question

7．如图，等边△ABF中，点C，D分别在AF、AB上，线段CD绕点C逆时针旋转60°到线段CE，点E恰好落在BF上．
（1）若AB=6，AC=2，求AD的长；
（2）若AB=6，求四边形CDBE面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质可得∠A=∠F=60°，根据旋转角是60°求出∠ECF+∠ACD=120°，再根据三角形内角和定理求出∠FCE+∠FEC=120°，从而得到∠FEC=∠ACD，然后利用“角角边”证明△FEC≌△ACD，根据全等三角形对应边相等可得CF=AD，然后根据CF=AF-AC计算即可得解；
（2）设AC=x，由（1）可知CF=AD=6-x，S_△ACD=S_△EFC，根据S_{四边形CDBE}=S_△ABF-2S_△ACD，求出S_{四边形CDBE}═9$\sqrt{3}$-3$\sqrt{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²，再配方即可求解．

解答 解：（1）∵△ABF是等边三角形，
∴∠A=∠F=60°，AB=AF=6，
∵∠DCE=60°，
∴∠ECF+∠ACD=120°，
∵∠FCE+∠FEC=120°，
∴∠FEC=∠ACD，
在△FEC和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠A}\\{∠FEC=∠ACD}\\{EC=CD}\end{array}\right.$，
∴△FEC≌△ACD（AAS），
∴CF=AD，
∵AC=2，
∴CF=AF-AC=6-2=4，
∴AD=4．

（2）设AC=x，由（1）可知CF=AD=6-x，S_△ACD=S_△EFC，
则S_{四边形CDBE}=S_△ABF-2S_△ACD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×6²-2×$\frac{1}{2}$•（6-x）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$x
=9$\sqrt{3}$-3$\sqrt{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-3）²+$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
故x=3时，四边形CDBE面积的最小值为$\frac{9\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，四边形的面积，二次函数的性质．