Question

12．如图，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象与矩形OABC的边长AB、BC分别交于点E、F，已知S_△FOC=3 且AE=BE，则：
（1）k=6．
（2）△OEF的面积的值为$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由S_△FOC=3结合反比例函数系数k的几何意义可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论；
（2）设点E的坐标为（n，$\frac{6}{n}$），则点B（n，$\frac{12}{n}$），结合个点的特征可得出点F的坐标，由此可用含n的代数式表示出“AB=$\frac{12}{n}$，OA=n，BF=n-$\frac{n}{2}$=$\frac{n}{2}$，BE=$\frac{6}{n}$”，分割矩形OABC利用矩形的、三角形的面积公式即可求出△OEF的面积．

解答 解：（1）∵S_△FOC=$\frac{1}{2}$|k|=3，
∴k=±6，
又∵k＞0，
∴k=6．
故答案为：6．
（2）设点E的坐标为（n，$\frac{6}{n}$），则点B（n，$\frac{12}{n}$），
令y=$\frac{12}{n}$，则$\frac{12}{n}$=$\frac{6}{x}$，解得：x=$\frac{n}{2}$，
∴点F的坐标为（$\frac{n}{2}$，$\frac{12}{n}$）．
∴AB=$\frac{12}{n}$，OA=n，BF=n-$\frac{n}{2}$=$\frac{n}{2}$，BE=$\frac{6}{n}$．
S_△OEF=S_矩形OABC-S_△OCF-S_△OAE-S_△BEF=OA•AB-$\frac{1}{2}$k-$\frac{1}{2}$k-$\frac{1}{2}$BE•BF=$\frac{12}{n}$•n-$\frac{1}{2}$×6-$\frac{1}{2}$×6-$\frac{1}{2}$$\frac{6}{n}$•$\frac{n}{2}$=$\frac{9}{2}$．
故答案为：$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了反比例函数系数k的几何意义、矩形的性质以及三角形的面积公式，解题的关键：（1）得出关于k的方程；（2）设出点E的坐标为（n，$\frac{6}{n}$），用函数n的代数式去表示各线段的长度．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，通过分割图形来求面积是关键．