Question

20．如图，?ABCD中，∠DAB=120°，设对角线AC、BD交于点O，过点O作OF⊥AC交∠ABC外角的平分线于点F，OF与BC交于E点
（1）如图1，求证：BC-AB=BF；
（2）如图2，在（1）的条件下，若AD=3，BF=1，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接FA、FC，作FN⊥BC、FM⊥AB垂足分别为N、M，先证明△FNC≌△FMA，△FBN≌△FBM，得AM=CN，BM=BN，再证明BF=2BM，BC-AB=2BM即可解决问题．
（2）如图2中，作AH⊥BC于H，30°性质求出BH、AH，利用勾股定理求出AC，再利用△ECO≌△ACH，得$\frac{OC}{CH}$=$\frac{CE}{CA}$即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，连接FA、FC，作FN⊥BC、FM⊥AB垂足分别为N、M．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AO=OC，
∵FO⊥AC，∠BAD=120°，
∴FA=FC，∠MBC=∠BAD=120°，
∵BF平分∠CBM，FM⊥AB，FN⊥BC，
∴FM=FN，∠FBM=∠FBN=60°，
在RT△FNC和RT△FMA中，
$\left\{\begin{array}{l}{FC=FA}\\{FN=FM}\end{array}\right.$，
∴△FNC≌△FMA，
∴AM=NC，
在RT△FBN和RT△FBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{FB=FB}\\{FM=FN}\end{array}\right.$，
∴△FBN≌△FBM，
∴BM=BN，
∴BC-AB=（BN+NC）-（AM-BN）=2BM，
在RT△BMF中，∵∠FMB=90°，∠MFB=30°，
∴BF=2BM，
∴BC-AB=BF．
（2）如图2中，作AH⊥BC于H．
在RT△∵∠AHB=90°，AB=2，∠ABC=60°，
∴BE=1，AE=$\sqrt{3}$，HC=BC-BH=3-1=2，
∴AC=$\sqrt{A{H}^{2}+H{C}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴OC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∵∠ECO=∠ACH，∠EOC=∠AHC=90°，
∴△ECO≌△ACH，
∴$\frac{OC}{CH}$=$\frac{CE}{CA}$，
∴$\frac{\frac{\sqrt{7}}{2}}{2}$=$\frac{CE}{\sqrt{7}}$，
∴CE=$\frac{7}{4}$．

点评 本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理、勾股定理．直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会常用辅助线的添加方法，属于中考常考题型．