Question

2．如图，两个正方形ABDE和ACGF，点P为BC中点，连接PA交EF于点Q，试探究AP与EF的数量和位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 结论AP⊥EF，EF=2AP，延长AP到M使得AP=PM，连接CM，BM，先证明四边形ABMC是平行四边形，再证明△EAF≌△MCA得到EF=AM=2AP，∠EFA=∠MAC，再根据∠MAC+∠QAF=90°，推出∠QAF+∠QFA=90°，由此即可证明．

解答 解：结论AP⊥EF，EF=2AP．
理由：延长AP到M使得AP=PM，连接CM，BM．

∵AP=PM，BP=PC，
∴四边形ABMC是平行四边形，
∴AB=CM，AB∥CM，
∴∠ACM+∠BAC=180°，
∵四边形ABDE和ACGF都是正方形，
∴AE=AB，AF=AC，∠EAB=∠CAF=90°，
∴∠EAF+∠BAC=180°，
∴∠EAF=∠ACM，AE=CM，AF=AC，
在△EAF和△MCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CM}\\{∠EAF=∠ACM}\\{AF=AC}\end{array}\right.$，
∴△EAF≌△MCA，
∴EF=AM=2AP，∠EFA=∠MAC，
∵∠MAC+∠QAF=90°，
∴∠QAF+∠QFA=90°，
∴∠AQF=90°，
∴AP⊥EF，EF=2AP．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会证明垂直的方法，属于中考常考题型．