Question

2．在△ABC中，CD是高，在边AC上有一点E，使EA=EB连接EB交CD于点M．
（1）求证：EM=EC；
（2）作∠AEB的平分线，交AB于点F，试探究EF、DM、DC三条线段的数量关系并说明你的理由．

Answer 1

分析 （1）如图作EN⊥CD于N，先证明EN平分∠CEM，再证明∠ECM=∠EMC即可．
（2）先证明四边形EFDN是矩形，根据EF=DN=DM+MN，MN=$\frac{DC-DM}{2}$即可证明．

解答 证明：（1）如图，作EN⊥CD于N．
∵EA=EB，
∴∠A=∠EBA，
∵EN⊥CD，CD⊥AB，
∴EN∥AB，
∴∠CEN=∠A，∠NEM=∠EBA，
∴∠CEN=∠NEM，
∵∠ECN+∠CEN=90°，∠EMN+∠MEN=90°，
∴∠ECM=∠EMC，
∴EM=EC．
（2）结论：EF=$\frac{DM+CD}{2}$，
理由；∵EF平分∠AEB，EA=EB，
∴EF⊥AB，
∵∠EFD=∠FDN=∠END=90°，
∴四边形EFDN是矩形，
∴EF=DN，
∵EC=EM，EN⊥CM，
∴CN=NM，
∴EF=DM+MN=DM+$\frac{CD-DM}{2}$=$\frac{DM+CD}{2}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、矩形的判定等知识，解题的关键是添加辅助线，掌握利用等角的余角相等证明角相等，属于中考常考题型．