Question

1．O是正方形ABCD的对角线AC的中点，∠EOF的两边交AD，CD于E，F．若∠EOF=90°，求证：AE²+CF²=EF²．

Answer 1

分析 延长EO交BC于M，连接FM，先证明△AEO≌△CMO，得AE=CM，EO=OM，根据线段垂直平分线的性质得到FE=FM，在RT△CMF中利用勾股定理即可解决．

解答 证明：延长EO交BC于M，连接FM．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AE∥CM，∠BCD=90°
∴∠EAO=∠MCO，
在△AEO和△CMO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠MCO}\\{∠AOE=∠MOC}\\{AO=OC}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△CMO，
∴EO=OM，AE=MC，
∵∠EOF=90°，
∴FO⊥EM，
∴FE=FM，
在RT△ECF中，∵∠MCF=90°，
∴FM²=CM²+CF²，
∵FM=FE，CM=AE，
∴AE²+CF²=EF²．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线性质、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．