Question

7．在平面直角坐标系中，已知A（1，4）、B（3，1），P是坐标轴上一点，当P的坐标为多少时，AP+BP取最小值，最小值为多少？当P的坐标为多少时，AP-BP取最大值，最大值为多少？

Answer 1

分析 如图1，作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点P，求得直线A′B的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{13}{4}$，当x=0时，y=$\frac{13}{4}$，得到P（0，$\frac{13}{4}$），根据勾股定理得到A′B=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，如图2，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点P，求得直线A′B的解析式为y=$\frac{5}{2}$x-$\frac{13}{2}$，当y=0时，x=$\frac{13}{5}$，得到P（$\frac{13}{5}$，0）；根据勾股定理得到A′B=$\sqrt{{2}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{29}$，即可得到结论，如图3，连接AB并延长交x轴于P，则PA-PB的值最大，求得直线AB的解析式为y=-$\frac{3}{2}$x+$\frac{11}{2}$，当y=0时，x=$\frac{11}{3}$，得到P（$\frac{11}{3}$，0），根据勾股定理得到PA-PB=AB=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，即可得到结论．

解答 解：如图1，作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点P，
∵A（1，4），
∴A′（-1，4），
设直线A′B的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=1}\\{-k+b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=\frac{13}{4}}\end{array}\right.$，
∴直线A′B的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{13}{4}$，
当x=0时，y=$\frac{13}{4}$，
∴P（0，$\frac{13}{4}$），
∴A′B=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
如图2，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点P，
∵A（1，4），
∴A′（1，-4），
设直线A′B的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=1}\\{k+b=-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{5}{2}}\\{b=-\frac{13}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线A′B的解析式为y=$\frac{5}{2}$x-$\frac{13}{2}$，
当y=0时，x=$\frac{13}{5}$，
∴P（$\frac{13}{5}$，0）；
∴A′B=$\sqrt{{2}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{29}$，
∵5＜$\sqrt{29}$，
∴当P的坐标为（0，$\frac{13}{4}$）时，AP+BP取最小值，最小值为5；
如图3，∵4＞1，
∴P在x轴上，
连接AB并延长交x轴于P，
则PA-PB的值最大，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4=k+b}\\{1=3k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{2}}\\{b=\frac{11}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{3}{2}$x+$\frac{11}{2}$，
当y=0时，x=$\frac{11}{3}$，
∴P（$\frac{11}{3}$，0），
PA-PB=AB=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴当P的坐标为（$\frac{11}{3}$，0）时，AP-BP取最大值，最大值为$\sqrt{13}$．

点评 本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键．