Question

4．如图1，对于平面内小于等于90°的∠MON，我们给出如下定义：若点P在∠MON的内部或边上，作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，则将PE+PF称为点P与∠MON的“点角距”，记作d（∠MON，P）．如图2，在平面直角坐标系xOy中，x、y正半轴所组成的角为∠xOy．

（1）已知点A（5，0）、点B（3，2），则d（∠xOy，A）=5，d（∠xOy，B）=5．
（2）若点P为∠xOy内部或边上的动点，且满足d（∠xOy，P）=5，在图2中画出点P运动所形成的图形．
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+mx+n经过A（5，0）与点D（3，4）两点，点Q是A、D两点之间的抛物线上的动点（点Q可与A、D两点重合），求当d（∠xOD，Q）取最大值时点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据若点P在∠MON的内部或边上，作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，则将PE+PF称为点P与∠MON的“点角距”，记作d（∠MON，P），可得答案；
（2）根据点P为∠xOy内部或边上的动点，且满足d（∠xOy，P）=5，可得函数，根据函数，可得函数图象；
（3）根据相似三角形的判定与性质，可得QE的长，根据d（∠xOD，Q），可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．

解答 28．（1）已知点A（5，0）、点B（3，2），则d（∠xOy，A）=5，d（∠xOy，B）=5．
故答案为：5，5；                  
（2）过B点的直线为y=-x+5，如图1，
；
（3）过点Q作QF⊥x轴于F，QE⊥OD于E，延长FQ交OD于M，如图2，
，
可求直线OD表达式为：y=$\frac{4}{3}$x，
抛物线表达式为：y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{5}{2}$，
  设Q（x，-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{5}{2}$），则M（x，$\frac{4}{3}$x）
∴MQ=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{2}{3}$x-$\frac{5}{2}$．
在Rt△MOF中，利用勾股定理可求OM=$\sqrt{O{F}^{2}+F{M}^{2}}$=$\frac{5x}{3}$．
利用△MEQ∽△MFO，可得：$\frac{MQ}{MO}$=$\frac{QE}{OF}$
即：$\frac{\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{2}{3}x-\frac{5}{2}}{\frac{5x}{3}}$=$\frac{QE}{x}$
∴QE=$\frac{3}{10}$x²-$\frac{2}{5}$x-$\frac{3}{2}$，
∴QE+QF=（$\frac{3}{10}$x²-$\frac{2}{5}$x-$\frac{3}{2}$）+（-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{5}{2}$）
=-$\frac{1}{5}$x+$\frac{8}{5}$x+1
=-$\frac{1}{5}$（x-4）²+$\frac{21}{5}$  （3≤x≤5），
∴当x=4时，QE+QF的值最大，最大值为$\frac{21}{5}$，此时Q点坐标为（4，$\frac{5}{2}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用若点P在∠MON的内部或边上，作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，则将PE+PF称为点P与∠MON的“点角距”，记作d（∠MON，P）是解题关键；利用相似三角形的判定与性质得出EQ的长是解题关键．