Question

【题目】如图，在中，按下列步骤作图：

①以点为圆心，以适当长为半径作弧，交于点．交于点；

②再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；

③作射线交于；

④过点作交于点，交于点；

⑤连接，．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）2

【解析】

（1）根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质即可得到结论；
（2）作PH⊥AD于H，根据四边形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，得到AB=AF=4，∠ABF=∠ADB=30°，AP⊥BF，从而得到PH= ，DH=5，然后利用锐角三角函数的定义求解即可．

（1）证明：由作图知BA=BE，∠ABF=∠EBF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EBF=∠AFB，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AB=AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
又AB=BE，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）作PH⊥AD于H，

∵四边形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，
∴AB=AF=4，∠ABF=∠AFB=30°，AP⊥BF，
∴AP=AB=2，
∴PH=，DH=5，
∴DP==