题目内容
【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是角平分线,点O在AB上,以点O为圆心,OB为半径的圆经过点D,交BC于点E.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)若OB=10,CD=8,求BE的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)12.
【解析】
试题分析:(1)连接OD,由BD为角平分线得到一对角相等,根据OB=OD,等边对等角得到一对角相等,等量代换得到一对内错角相等,进而确定出OD与BC平行,利用两直线平行同位角相等得到∠ODA为直径,即可得证;
(2)过O作OG垂直于BE,可得出四边形ODCG为矩形,在直角三角形OBG中,利用勾股定理求出BG的长,由垂径定理可得BE=2BG.
试题解析:(1)证明:连接OD,∵BD为∠ABC平分线,∴∠1=∠2,∵OB=OD,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴OD∥BC,∵∠C=90°,∴∠ODA=90°,则AC为圆O的切线;
(2)过O作OG⊥BC,连接OE,∴四边形ODCG为矩形,∴GC=OD=OB=10,OG=CD=8,在Rt△OBG中,利用勾股定理得:BG=6,∵OG⊥BE,OB=OE,∴BE=2BG=12.
解得:BE=12.
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