Question

9．如图，直线a与b平行，点A、B是直线a上两个定点，点CD在直线b上运动（点C在点D的左侧），AB=CD=4cm，a、b之间的距离为$\sqrt{3}$cm，连接AC、BD、BC，把△ABC沿BC折叠得△A₁BC．
（1）当A₁、D两点重合时，AC=4cm；
（2）当A₁、D；两点不重合时：
①连接A₁D，探究A₁D与BC的位置关系，并说明理由；
②若以点A₁、C、B、D为顶点的四边形是矩形吗？若能，请画出对应示意图，并求出AC的长；若不能，试说明理由．

Answer 1

分析 （1）由△ABC沿BC折叠得△A₁BC，AC=CD，即可；
（2）①由翻折可知：∠A₁BC=∠ABC，由a∥b，得到∠BCD=∠ABC转化出∠BA₁D=∠A₁BC；②四边形A₁CBD是矩形得到Rt△ACE∽Rt△CBE，建立方程（$\sqrt{3}$）²=x×（4-x），计算出即可．

解答 解：（1）当A₁D两点重合时，
由△ABC沿BC折叠得△A₁BC，
∴AC=CD，
∵CD=4，
∴AC=4
故答案为4；
解：（2）①A₁D∥BC
理由如下：设A₁B、CD相交于点O．
由翻折可知：∠A₁BC=∠ABC，
∵a∥b，
∴∠A₁BC=∠BCD，
∴OC=OB，
∵AB=A₁B=CD，
∴A₁O=DO，
∴∠BA₁D=∠A₁DC，
∵∠BA₁D+∠A₁DC=∠A₁BC+∠BCD=∠BOD，
∴2∠BA₁D=2∠A₁BC，
即∠BA₁D=∠A₁BC，
∴A₁D∥BC；
②如图2

Ⅰ、过点C作CE⊥AB，垂足为点E，
∵四边形A₁CBD是矩形，
∴∠ACB=∠A₁CB=90°，
∵CE⊥AB于点E，
∴Rt△ACE∽Rt△CBE，
∴$\frac{CE}{BE}=\frac{AE}{CE}$，
即CE²=AE×BE，
设AE=x，则（$\sqrt{3}$）²=x×（4-x），
解得x₁=1，x₂=3．
∴当x₁=1时，AC=2；
 当x₂=3时，AC=2$\sqrt{3}$；
Ⅱ、如图2，

当BC⊥AB时，A₁点在AB上，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{19}$．
即：AC的长为2，2$\sqrt{3}$，$\sqrt{19}$．

点评 此题是几何变换的综合题，主要考查相似的性质和判定，对折的性质，建立方程是解本题的关键，易丢BC⊥AB这种情况．