Question

14．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，过BC的中点D作DE⊥AB于E，连结CE，求sin∠ACE=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

Answer 1

分析 要求sin∠ACE的值，关键是构造直角三角形，作EF⊥AC，只要求出EF和EC的长即可，根据题目中的条件可以表示出它们的长，本题得以解决．

解答 解：作EF⊥AC于点F，如右图所示，
设AC=BC=2a，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，过BC的中点D作DE⊥AB于E，
∴∠ACB=90°，∠B=∠A=45°，CD=BD=a，∠DEB=90°，
∴AB=$2\sqrt{2}a$，BE=$\frac{\sqrt{2}a}{2}$，
∴AE=$\frac{3\sqrt{2}a}{2}$，
∵EF⊥AC，BC⊥AC，
∴△AFE∽△ACB，
∴$\frac{EF}{BC}=\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}$，
解得，EF=$\frac{3a}{2}$，AF=$\frac{3a}{2}$，
∴CF=$\frac{a}{2}$，
∴EC=$\frac{\sqrt{10}a}{2}$，
∴sin∠ACE=$\frac{EF}{CE}=\frac{\frac{3a}{2}}{\frac{\sqrt{10}a}{2}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
故答案为：$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查解直角三角形、等腰直角三角形，解题的关键是明确题意，构造直角三角形，找出所求问题需要的条件．