Question

10．在平面直角坐标系中，点A（4，0），B为第一象限内一点，且OB⊥AB，OB=2．
（Ⅰ）如图①，求点B的坐标；
（Ⅱ）如图②，将△OAB沿x轴向右平移得到△O′A′B′，设OO′=m，其中0＜m＜4，连接BO′，AB与O′B′交于点C．
①试用含m的式子表示△BCO′的面积S，并求出S的最大值；
②当△BCO′为等腰三角形时，求点C的坐标（直接写出结果即可）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由OB⊥AB，0A=4，OB=2得出△AOB是有一个角为30°的直角三角形，简单计算即可；
（Ⅱ）①由平移用m表示出BC，O′C，建立S=$\frac{\sqrt{3}}{8}$[-（m-2）²+4]，即可；
②利用△BCO′为等腰三角形，则有CB=CO′确定出m，再利用相似求出CD，AD即可．

解答 解：（Ⅰ）∵OB⊥AB，0A=4，OB=2，
∴∠AOB=60°，∠OAB=30°，AB=2$\sqrt{3}$，
过点B作BD⊥OA，
∴OD=1，BD=$\sqrt{3}$，
∴B（1，$\sqrt{3}$）．
（Ⅱ）①∵△A′O′B′是△OAB平移得到，
∴∠A′O′B′=∠AOB=60°，O′B′⊥AB，
∵OO′=m，
∴AO′=4-m，
∴O′C=$\frac{1}{2}$AO′=$\frac{1}{2}$（4-m），AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AO′=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-m），
∴BC=AB-AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，
∴S=$\frac{1}{2}$BC×O′C=$\frac{\sqrt{3}}{8}$m（4-m）=$\frac{\sqrt{3}}{8}$[-（m-2）²+4]，
当m=2时，S_最大=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
②如下图，作BE⊥OA，CD⊥OA，

由①有，AO′=4-m，O′C=$\frac{1}{2}$（4-m），AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-m），
∴CB=AB-AC=2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-m）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，
由平移得，∠ACO′=∠ABO=90°，
∵△BCO′为等腰三角形，
∴CB=O′C，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$m=$\frac{1}{2}$（4-m），
∴m=2（$\sqrt{3}$-1）．
∵BE×OA=OB×AB，
∴BE=$\frac{OB×AB}{OA}=\frac{2×2\sqrt{3}}{4}$=$\sqrt{3}$，
∴AE=$\sqrt{3}$BE=3，
∵△ACO′∽△ABO，
∴$\frac{CD}{BE}=\frac{AO′}{O′A′}$，
∴CD=$\frac{AO′}{O′A′}$×BE=$\frac{4-m}{4}$×$\sqrt{3}$=$\frac{4-2（\sqrt{3}-1）}{4}$×$\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}-3}{2}$，
∵BE⊥OA，CD⊥OA，
∴BE∥CD，
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{CD}{BE}$，
∴AD=$\frac{CD}{BE}$×AE=$\frac{3（3-\sqrt{3}）}{2}$，
∴OD=OA-AD=4-$\frac{3（3-\sqrt{3}）}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}-1}{2}$，
∴C（$\frac{3\sqrt{3}-1}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}-3}{2}$）．

点评 此题是几何变换综合题，考查了平移得性质，一个角为30°的直角三角形，相似三角形的判定和性质，用m表示出有关线段如（AO′=4-m，O′C=$\frac{1}{2}$（4-m），AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-m），CB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m）是解本题的关键．