Question

18．如图，AB=CD，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，且AE=CF，求证：BC=AD，BC∥AD．

Answer 1

分析 根据线段的和差得到AF=CE，推出Rt△ABF≌Rt△CDE，由全等三角形的性质得到BF=DE，证得△BCF≌△CDE，根据全等三角形的性质得到BC=AD，∠BCF=∠DAE，根据平行线的判定即可得到结论．

解答 证明：∵AE=CF，
∴AE-EF=CF-EF，
即AF=CE，
∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，
在Rt△ABF与Rt△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{AF=CE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE，
∴BF=DE，
在△BCF与△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=DE}\\{∠BFC=∠DEC=90°}\\{CF=AE}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△CDE，
∴BC=AD，∠BCF=∠DAE，
∴BC∥AD．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定和平行线的性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，AAS，ASA，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．