Question

5．已知，点D位直线BC上一动点（点D不与点B，C重合），∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，∠DAE=90°，AD=AE，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：
①BD⊥CE；
②CE=BC-CD．
知识迁移，探究发现
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CE，BC，CD三条线段之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）如图1中，只要证明△ABD≌△ACE，即可得到∠ABD=∠ACE=45°，BD=CE，由此可以证明．
（2）如图2中，结论：CE=BC+CD，证明方法类似（1）．

解答 （1）证明：如图1中，∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE=45°，BD=CE，
∴∠ACB+∠ACE=90°
∴∠ECB=90°，
∴BD⊥CE，CE=BC-CD．

（2）如图2中，结论：CE=BC+CD，理由如下：
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，
∴CE=BC+CD．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，属于中考常考题型．