Question

20．如图，?ABCD对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OC的中点；
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）当OA=2OB时，?DEBF是矩形；
（3）当AB=AD时，?DEBF是菱形．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出OB=OD，OA=OC，证出OE=OF，那么两组对角线互相平分，得出四边形DEBF是平行四边形．
（2）证出对角线BD=EF，即可得出结论；
（3）证明四边形ABCD是菱形，得出AC⊥BD，即可得出结论．

解答 （1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC，
∵点E、F分别为OA、OC的中点，
∴OE=$\frac{1}{2}$OA，OF=$\frac{1}{2}$OC，
∴OE=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
（2）解：当OA=2OB时，?DEBF是矩形；理由如下：
∵OB=OD，OA=OC，OA=2OB，OE=OF=$\frac{1}{2}$OA，
∴BD=EF，
∴?DEBF是矩形；
故答案为：矩；
（3）解：当AB=AD时，?DEBF是菱形；理由如下：
∵AB=AD，四边形ABCD是平行四边形，
∴AC⊥BD，∴EF⊥BD，
∴?DEBF是菱形；
故答案为：菱．

点评 本题考查了平行四边形的判定和性质、菱形的判定与性质、矩形的判定；解题的关键是注意掌握两组对角线互相平分的四边形是平行四边形．