Question

18．在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD，垂足为E，且AE平分∠BAO．若DO=2，求AB和BC的长度．

Answer 1

分析 证△AEB≌△AEO，根据全等三角形的性质得出AB=AO，根据矩形的性质求出AC=BD=2OD=4，根据勾股定理求出BC即可．

解答 解：∵AE平分∠BAO，
∴∠BAE=∠OAE，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=∠AEO=90°，
在△AEB和△AEO中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠OAE}\\{AE=AE}\\{∠AEB=∠AEO}\end{array}\right.$
∴△AEB≌△AEO（ASA），
∴AB=AO，
∵四边形ABCD是矩形，
∵∠ABC=90°，AC=BD，AO=OC，OB=OD=2，
∴AC=BD=4，AO=OC=OB=OD=2，
∴AB=OA=2，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，能求出AB=AO和AC=BD=2DO是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等且互相平分．