Question

10．在矩形ABCD中，将对角线CA绕点C逆时针旋转得到CE，连接AE，取AE的中点F，连接BF，DF．
（1）若点E在CB的延长线上，如图1．
①依题意补全图1；
②判断BF与DF的位置关系并加以证明；
（2）若点E在线段BC的下方，如果∠ACE=90°，∠ACB=28°，AC=6，请写出求BF长的思路．（可以不写出计算结果）

Answer 1

分析 （1）由题意，补全图形，如图1，
（2）由矩形的性质，得到△AFD≌△EFG，再用等量代换即可；
（3）先计算出∠BAC，∠AOB，在求出∠BOF，∠BDF，最后利用三角函数计算即可．

解答 解：（1）①补全图形，如图1，所示，

②BF⊥DF．
证明：延长DF与CE的延长线交于点G，如图2，

连接BD，
∵矩形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，AC=BD，
∴∠ADF=∠G，
在△AFD和△EFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFD=∠EFG}\\{∠ADF=∠G}\\{AF=EF}\end{array}\right.$，
∴△AFD≌△EFG，
∴EG=AD，GF=DF，
∴EG=BC，
∴BG=EC，
∴BG=BD，
∵GF=DF，
∴BF⊥DF；
（2）如图3，

由（2）有，BF⊥DF，
在矩形ABCD中，
∵∠ACB=28°，
∴∠BAC=90°-∠ACB=62°，∠AOB=2∠ACB=56°，
∵OA=OC，AF=EF，
∴OF∥EC，
∴∠AOF=∠ACB=28°，
∴∠BOF=∠AOB-∠AOF=28°，
在Rt△BFD中，OB=OD，
∴OF=OD，
∴∠BDF=$\frac{1}{2}$∠BOF=14°，
在Rt△BFD中，BD=AC=6，
sin∠BDF=$\frac{BF}{BD}$，
∴BF=BD×sin∠BDF=6sin14°≈6×0.24192190≈1.452．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，锐角三角函数，推导出∠BDF是解本题的关键．