Question

8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在BC的同侧作任意Rt△DBC，∠BDC=90°．
（1）若CD=2BD，M是CD中点（如图1），求证：△ADB≌△AMC；

下面是小明的证明过程，请你将它补充完整：
证明：设AB与CD相交于点O，
∵∠BDC=90°，∠BAC=90°，
∴∠DOB+∠DBO=∠AOC+∠ACO=90°．
∵∠DOB=∠AOC，
∴∠DBO=∠MCA
∵M是DC的中点，
∴CM=$\frac{1}{2}$CD=BD
又∵AB=AC，
∴△ADB≌△AMC．
（2）若CD＜BD（如图2），在BD上是否存在一点N，使得△ADN是以DN为斜边的等腰直角三角形？若存在，请在图2中确定点N的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由；
（3）当CD≠BD时，线段AD，BD与CD满足怎样的数量关系？请直接写出．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形的性质和中点的性质就可以的得出结论；
（2）存在．在BD上截取BN=CD，由条件可以得出，△ACD≌△ABN，就有AN=AD，∠DAC=∠NAB，得出∠NAD=90°而得出结论；
（3）当BD＞CD时，如图3，在BD上截取BN=CD，由条件可以得出，△ACD≌△ABN，就有AN=AD，∠DAC=∠NAB，得出△AND是等腰直角三角形，就可以得出ND=$\sqrt{2}$AD，就可以得出BD-CD=$\sqrt{2}$．当BD＜CD事实，如图4，在CD上取一点N，使CN=BD，由条件可以得出，△ACN≌△ABD，就有AN=AD，∠DAB=∠NAC，得出△AND是等腰直角三角形，就可以得出ND=$\sqrt{2}$AD，就可以得出CD-BD=$\sqrt{2}$．

解答 解：（1）由题意，得
①根据直角三角形的性质就可以得出：∠DBO=∠MCA（或∠ACO）；
②由等式的性质就可以得出CM=BD； 
故答案为：MCA，BD；

（2）存在．
理由：如图3，在BD上截取BN=CD，
∵∠BAC=∠BDC=90°，∠AOB=∠COD，
∴∠ABN=∠ACD．
在△ACD和△ABN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠ACD=∠ABN}\\{CD=BN}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△ABN（SAS），
∴AN=AD，∠DAC=∠NAB．
∵∠NAB+∠NAC=90°，
∴∠DAC+∠NAC=90°，
即∠NAD=90°，
∴△NAD为等腰直角三角形；

（3）①当CD＜BD时，$\sqrt{2}$AD=BD-CD．
理由：如图3，在BD上截取BN=CD，
∵∠BAC=∠BDC=90°，∠AOB=∠COD，
∴∠ABN=∠ACD．
在△ACD和△ABN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠ACD=∠ABN}\\{CD=BN}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△ABN（SAS），
∴AN=AD，∠DAC=∠NAB．
∵∠NAB+∠NAC=90°，
∴∠DAC+∠NAC=90°，
即∠NAD=90°，
∴△NAD为等腰直角三角形；
∴ND=$\sqrt{2}$AD．
∵ND=BD-BN，
∴ND=BD-CD，
∴$\sqrt{2}$AD=BD-CD；

②当CD＞BD时，$\sqrt{2}$AD=CD-BD；                     
理由：如图4，在CD上取一点N，使CN=BD，
∵∠BAC=∠BDC=90°，∠DOB=∠COA，
∴∠ABD=∠ACD．
在△ACN和△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠ACN=∠ABD}\\{CN=BD}\end{array}\right.$，
∴△ACN≌△ABD（SAS），
∴AN=AD，∠DAB=∠NAC．
∵∠NAB+∠NAC=90°，
∴∠DAB+∠NAC=90°，
即∠NAD=90°，
∴△NAD为等腰直角三角形，
∴DN=$\sqrt{2}$AD．
∵DN=CD-CN，
∴DN=CD-BD，
∴$\sqrt{2}$AD=CD-BD．

点评 本题考查了等腰直角三角形的判定与性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，解答时证明三角形全等是关键．