题目内容
3．
如图，二次函数y=-$\frac{1}{k}$x2+k（k＞0）的图象与x轴相交于A、C两点（点A在点C的左侧），与y轴交于点B，点D为线段OC上一点（不与点O、C重合），以OD为边向上作正方形ODEF，连接AE，BE，AB，AB，设点D的横坐标为m．（1）当k=3，m=2时，S△ABE=$\frac{9}{2}$，
当k=4，m=3时，S△ABE=8，
当k=5，m=4时，S△ABE=$\frac{25}{2}$；
（2）根据（1）中的结果，猜想S△ABE的大小，并证明你的猜想；
（3）当S△ABE=8时，在坐标平面内有一点P，其横坐标为n，当以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出m与n满足的关系式．
分析 （1）令y=0，解关于x的一元二次方程得出x的值，即可得知点A的坐标，令x=0求出y值，由此得出B点的坐标，再根据正方形形的性质以及D点的横坐标为m得出点D、点E的坐标，代入k、m的值得出点A、B、E、D四点的坐标，再根据三角形的面积公式即可得出结论；
（2）S△ABE=$\frac{1}{2}{k}^{2}$．由（1）得出由k、m表示的点A、B、E、D四点的坐标，结合三角形的面积公式求出S△ABE即可得出结论；
（3）根据S△ABE=8找出k值，设点P的坐标为（n，y）．以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形有三种情况，分情况考虑，利用平行四边形的性质以及坐标系中点的意义即可得出结论．
解答 解：（1）令y=-$\frac{1}{k}$x2+k=0，则x2=k2，
解得：x1=-k，x2=k，
∴点A的坐标为（-k，0）．
令x=0，则y=k，
∴点B的坐标为（0，k）．
∵D点的横坐标为m，
∴点E的坐标为（m，m），点D的坐标为（m，0）．
当k=3，m=2时，A（-3，0），B（0，3），E（2，2），D（2，0），
S△ABE=$\frac{1}{2}$AO•OB+$\frac{1}{2}$（OB+DE）•OD-$\frac{1}{2}$AD•DE=$\frac{1}{2}$×3×3+$\frac{1}{2}$×（3+2）×2-$\frac{1}{2}$（3+2）×2=$\frac{9}{2}$；
当k=4，m=3时，A（-4，0），B（0，4），E（3，3），D（3，0），
S△ABE=$\frac{1}{2}$AO•OB+$\frac{1}{2}$（OB+DE）•OD-$\frac{1}{2}$AD•DE=$\frac{1}{2}$×4×4+$\frac{1}{2}$×（4+3）×3-$\frac{1}{2}$（4+3）×3=8；
当k=5，m=4时，A（-5，0），B（0，5），E（4，4），D（4，0），
S△ABE=$\frac{1}{2}$AO•OB+$\frac{1}{2}$（OB+DE）•OD-$\frac{1}{2}$AD•DE=$\frac{1}{2}$×5×5+$\frac{1}{2}$×（5+4）×4-$\frac{1}{2}$（5+4）×4=$\frac{25}{2}$．
故答案为：$\frac{9}{2}$；8；$\frac{25}{2}$．
（2）S△ABE=$\frac{1}{2}{k}^{2}$．
证明：由（1）知：A（-k，0），B（0，k），E（m，m），D（m，0），
S△ABE=$\frac{1}{2}$AO•OB+$\frac{1}{2}$（OB+DE）•OD-$\frac{1}{2}$AD•DE=$\frac{1}{2}$k•k+$\frac{1}{2}$（k+m）m-$\frac{1}{2}$（k+m）m=$\frac{1}{2}{k}^{2}$．
（3）设点P的坐标为（n，y）．
∵S△ABE=$\frac{1}{2}{k}^{2}$=8，
∴k=4．
当以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形时，分三种情况：
①当AB、EP为对角线时，令对角线的交点为M，如图1所示．
∵四边形AEBP为平行四边形，
∴点M平分AB，点M平分EP．
∵A（-4，0），B（0，4），E（m，m），P（n，y），
∴-4+0=m+n，
即m+n=-4；
②AB、EP为对边，且点P在E的左侧时，延长ED，过点P作PN⊥ED于点N，如图2所示．
∵四边形AEBP为平行四边形，
∴AB=PE，且AB∥PE，
∴AO=PN．
∵A（-4，0），B（0，4），E（m，m），P（n，y），
∴0-（-4）=m-n，
即m-n=4；
③AB、EP为对边，且点P在E的右侧时，延长FE，过点P作PN⊥FE于点N，如图3所示．
∵四边形AEBP为平行四边形，
∴AB=PE，且AB∥PE，
∴AO=PN．
∵A（-4，0），B（0，4），E（m，m），P（n，y），
∴0-（-4）=n-m，
即n-m=4．
综上可知：当以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形时，m与n满足的关系式有m+n=-4，m-n=4和n-m=4．
点评 本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题、三角形的面积公式以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）找出点A、B、E、D四点的坐标；（2）用k、m表示出点A、B、E、D四点的坐标；（3）结合平行四边形的性质找出m、n之间的关系．本题属于中档题，（1）（2）难度不大；（3）分三种情况考虑，部分同学经常性的会落下一两种情况，因此在日常做题时要注意培养孩子们做题的完整性、考虑问题的全面性．
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